数学分析：集合论公理体系
基础定义
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对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作 对象
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公理：是数学的基础，是不加证明的公设，也就是认为肯定是对的。这里说的认为，是因为公理有时候并不完全对，比如 欧几里得第五公设，由推翻第五公设发展出了非欧几何
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引理：是一个容易证明的断言，它被用来帮助证明其他的命题或定理，但它本身通常不是特别有意义的
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命题：是本身有意义的陈述，每个良好构成的命题都或是 真的 或是 假的, 而不可两者都是
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定理：是比命题更重要的陈述，它对于论题给出确定性的断言，且通常比命题和引理花更大的力气来予以证明
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推论：是刚刚证明了的命题或定理的立刻的结果
从逻辑学的观点来说，在引理、命题、定理或推论之间， 是没有什么不同的。它们都是必须被证明的。然而我们使用这些术语来标示在重要性上和在困难程度上的不同的水平。
集合定义
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集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合
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元素：集合中每个 对象 叫做这个集合的 元素
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属于： 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a \in A
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不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a \notin A
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相等：两个集合 A 和 B是相等的，A=B，当且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素，而且 B 的每个元素也都是 A 的元素
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子集：设 A,B 是集合，当且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素，即对于任何对象 x，x \in A \Rightarrow x \in B，则说 A 是 B 的子集，记作 A \subseteq B；如果 A \subseteq B 但 A \neq B，则说 A 是 B 的真子集，记作 A \subsetneq B
对象公理
若 A 是集合，则 A 也是一个对象，特别地，给定两个集合 A 和 B，问 A 是不是 B 的一个元素是有意义的。
空集公理
存在一个集合 \varnothing，叫作空集，它不含任何元素，也就是说，对于每个对象 x，都有 x \notin \varnothing.
如果一个集合不等于 空集，我们就说它是 非空的
引理：单个选取
设 A 是一个非空的集合，那么存在一个对象 x使得 x \in A
证明：
我们用反证法，假设不存在任何对象 x 使得 x \in A；
那么对于一切对象 x 都有 x \notin A；
同时，根据空集公理，有 x \notin \varnothing，
于是，x \in A \Leftrightarrow x \in \varnothing
于是根据 集合相等定义，A = \varnothing，得一矛盾
证毕
元素集公理
若 a 是一个对象，则存在一个集合 \{a\}，它的唯一的元素是 a；
也就是说，对于每个对象 y，有 y \in \{a\}，当且仅当 y=a。
我们把 \{a\} 叫作单元素集
进而，若 a 和 b 是对象，则存在一个集 \{a,b\}，其仅有的元素是 a 和 b；
也就是说，对于每个对象 y，有 y \in \{a,b\}，当且仅当 y=a 或 y = b；
我们把此集合叫作由 a 和 b 构成的 双元素集
双并公理
给定两个集合 A,B，存在一个集合 A \cup B 叫 A 和 B 的 并，其元素由属于 A 或属于 B 或同时属于两者的一切元素组成。
换句话说，对于任何对象 x
引理
若 a 和 b 是对象，则 \{a,b\} = \{a\} \cup \{b\}
若 A,B,C 是集合，则并运算满足交换律，即 A \cup B = B \cup A
也是满足结合律，即 (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
而且还有自反律，即 A \cup A= A \cup \varnothing = A
部分次序
设 A,B,C 是集合
如果 A \subseteq B 且 B \subseteq C，则 A\subseteq C
如果 A \subseteq B 且 B \subseteq A，则 A=B
如果 A \subsetneq B 且 B \subsetneq C，则 A\subsetneq C
分类公理
设 A 是一个集合，并对于每个 x \in A，设 P(x) 是一个关于 x 的性质（即 P(x) 或为一个真命题，或为一个假命题）；
那么存在一个集合叫作 \{ x \in A: P(x)成立\}，或简写为 \{ x \in A: P(x)\}
它的元素恰恰是 A 中使 P(x) 成立的 x。换句话说，对于任何对象 y,
y \in \{ x \in A: P(x)\} \Leftrightarrow{} （y \in A 且 P(y) 成立）
这个公理也叫作 分离公理
定义：交集
两个集合 S_1 和 S_2 的交 S_1 \cap S_2，定义为集合：
S_1 \cap S_2 = \{ x \in S_1 : x \in S_2 \}
换句话说，S_1 \cap S_2 由全部同时属于 S_1 和 S_2 两个集合的元素构成，于是，对于一切对象 x
x \in S_1 \cap S_2 \Leftrightarrow x \in S_1 且 x \in S_2
如果 A\cup B = \varnothing。两个集合 A,B 叫作是 不交的
定义：差集
给定两个集合 A 和 B，我们定义集合 A-B 为
从集合 A 中把 B 中的任何元素都去掉所得的集合：
A - B := \{x \in A: x \notin B\}
一些基本命题
设 A,B,C 是集合，X 是包含 A,B,C 为其子集的集合
- 最小元
- A\cup \varnothing=A
- A \cap \varnothing= \varnothing
- 最大元
- A\cup X=X
- A \cap X= A
- 相等
- A\cup A=A
- A \cap A= A
- 交换律
- A\cup B=B \cup A
- A \cap B= B\cap A
- 结合律
- (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
- (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
- 分配律
- A\cap (B \cup C) = (A\cap B)\cup (A \cap C)
- A\cup (B \cap C) = (A\cup B)\cap (A \cup C)
- 分拆律
- A \cup (X - A)= X
- A \cap (X - A)= A
- 德摩根律
- X - (A\cup B)= (X - A) \cap (X - B)
- X - (A\cap B)= (X - A) \cup (X - B)
替换公理
设 A 是一个集合，对于任意的对象 x \in A 和 任意对象 y；
假设有一个命题 P(x,y) 依赖于 x 和 y，使得对于每个 x \in A 存在至多一个 y，使 P(x, y) 成立；
那么存在一个集合 \{y: P(x,y)\ 对于\ 某\ x \in A\ 成立\ \}，使得对于任何对象 z
z \in \{y: P(x,y)\ 对于\ 某\ x \in A\ 成立\ \} \Leftrightarrow{} （对于某 x \in A， P(x,z) 成立）
无限公理
存在一个集合 \mathbb{N}，其元素叫作自然数，0 是 \mathbb{N} 中的一个对象，而且由每个自然数 n \in \mathbb{N} 所指定的满足 皮亚诺公理 的对象 n++ 也在 \mathbb{N} 中。