关于数学的一些结论

创建时间 2020-11-24
更新时间 2020-12-11

函数、极限、连续


x \in (0, 1) \Rightarrow \sin x < x < \tan x


x \to 0 时,若 f(x) \sim ax^m;g(x) \sim bx^n,则 f[g(x)] \sim ab^mx^{mn}

\begin{aligned} &\lim_{x\to 0} f[g(x)] \\ = &\lim_{x\to 0} f[bx^n] \\ = &\lim_{x\to 0} a(bx^n)^m \\ = &ab^mx^{mn} \end{aligned}

\alpha(x) \to 0,且 \beta(x)\to\infty 有:

\begin{aligned} I =& \lim_{ } [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^{\lim \alpha(x)\beta(x)} \end{aligned}

证明:

\begin{aligned} I =& \lim [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} \\ =& \lim e^{\beta(x)\ln(1 + \alpha(x))} \\ =& e^{\lim \beta(x)\alpha(x)} \end{aligned}

\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 能用多少次洛必达法则?

假设 mn 均为正整数

  1. 如果 f(x) n 阶导数连续,则:
    1. m \leqslant n, 则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m 次洛必达法则出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}
  2. m > n,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 一次都不能用洛必达法则。
  3. 如果 f(x)x_0 的邻域内有 n 阶导数,则:
    1. m \leqslant n - 1, 则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m 次洛必达法则出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}
    2. m = n,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m - 1 次洛必达法则,出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(m-1)}(x)}{m!x},然后利用导数定义 \displaystyle f^{(n)}(x_0) =\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} 进一步计算。
    3. m \geqslant n + 1,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 一次都不能用洛必达法则。

  • f(x)g(x) 在点 x = 0 的某个邻域内连续
  • \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\varphi(x) = 0\varphi(x) 在点 x = 0 的某去心邻域内可导且 \varphi'(x) = 0
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\psi(x) = 0\psi(x) 在点 x = 0 的某去心邻域内可导且 \psi'(x) = 0
  • \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\varphi'(x)}{\psi'(x)} = 1

则有:

\begin{aligned} \int_{0}^{\varphi(x)} f(t) dt \sim \int_{0}^{\psi(x)} g(t) dt \end{aligned}

证明:

\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{\varphi(x)} f(t) dt }{\int_{0}^{\psi(x)} g(t) dt} \\ =& \lim_{x \to 0} \frac{f[\varphi(x)]\varphi'(x)}{f[\psi(x)]\psi'(x)} \\ =& \lim_{x \to 0} \frac{f[\varphi(x)]}{f[\psi(x)]} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\varphi'(x)}{\psi'(x)} = 1\\ \end{aligned}

积分

定积分旋转体体积公式

V = \pi \int y^2 dy

二重积分旋转体体积公式

\begin{aligned} V = 2\pi\iint \limits_{D} f(x, y) d\sigma \end{aligned}

区间再现公式:

\begin{aligned} & \int_a^b f(x) dx \\ \xlongequal{x = a+b-t}& \int_b^a f(a+b-t) d(-t) \\ =& \int_a^b f(a+b-t) dt \\ =& \int_a^b f(a+b-x) dx \end{aligned}

\begin{aligned} &\int_0^\pi xf(\sin x) dx \\ \xlongequal{u=\pi - x} &\int_\pi^0 (\pi - u)f[\sin (\pi - u)] d(-u) \\ = &\int_0^\pi (\pi - u)f(\sin u) du \\ = &\int_0^\pi (\pi - x)f(\sin x) dx \\ = &\pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - \int_0^\pi xf(\sin x) dx\\ = &\frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx \end{aligned}

反常积分审敛法

反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} (a>0, p>0) 的敛散性。

\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{x^{1-p}}{1-p}\bigg|_a^{+\infty} &(p \neq 1) \\ \ln x\bigg|_a^{+\infty} &(p = 1) \end{cases} \end{aligned}
\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \infty &(0 <p \leqslant 1) \\ \frac{a^{1-p}}{p-1} &(p > 1) \end{cases} \end{aligned}

反常积分 \displaystyle \int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q} (q>0) 的敛散性。

\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \infty &(q \geqslant 1) \\ \frac{(b - a)^{1-q}}{1-q} &(0 < q < 1) \end{cases} \end{aligned}

总结上两题:大大小小

  • 如果积分区间有无穷,则 p > 1 时收敛
  • 如果积分区间有瑕点,则 0 < p < 1 时收敛

反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p\ln^q x} (a>0) 的敛散性。

  • p > 1 时收敛
  • p = 1 时:
    • q > 1 时收敛
    • q \leqslant 1 时发散
  • p < 1 时发散

定理一: 设函数 f(x) 在区间 [a, +\infty) 上连续,且 f(x) \geqslant 0,如果存在常数 p > 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^pf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 发散。

通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷小 \displaystyle \frac{1}{x^p},而 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx\displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx 同敛散,再根据上面的结论,就可以判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性。


定理二: 设函数 f(x) 在区间 (a, b] 上连续,且 f(x) \geqslant 0x = af(x) 的瑕点,如果存在常数 0 < q < 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x - a)^qf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - a)f(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^b f(x) dx 发散。

通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷大。


无穷级数

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛,且 \displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0,则 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n 绝对收敛;

证明:

由于 \displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0,故存在充分大的 N,使得当 n > N 时有 |u_nv_n| < |u_n|

因此 \displaystyle\displaystyle\sum_{n=N}^\infty |u_n| > \sum_{n=N}^\infty |u_nv_n|,又由于 \displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} |u_nv_n| 为常数

故由 正项级数的比较判别法 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_nv_n| 收敛,即 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n 绝对收敛;证毕。