关于数学的一些结论
函数、极限、连续
x \in (0, 1) \Rightarrow \sin x < x < \tan x
当 x \to 0 时,若 f(x) \sim ax^m;g(x) \sim bx^n,则 f[g(x)] \sim ab^mx^{mn}
若 \alpha(x) \to 0,且 \beta(x)\to\infty 有:
证明:
\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 能用多少次洛必达法则?
假设 m 和 n 均为正整数
- 如果 f(x) n 阶导数连续,则:
- 若 m \leqslant n, 则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m 次洛必达法则出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}
- 若 m > n,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 一次都不能用洛必达法则。
- 如果 f(x) 在 x_0 的邻域内有 n 阶导数,则:
- 若 m \leqslant n - 1, 则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m 次洛必达法则出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x)}{m!}
- 若 m = n,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 可以用 m - 1 次洛必达法则,出现 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f^{(m-1)}(x)}{m!x},然后利用导数定义 \displaystyle f^{(n)}(x_0) =\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} 进一步计算。
- 若 m \geqslant n + 1,则 \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{x^m} 一次都不能用洛必达法则。
- 设 f(x),g(x) 在点 x = 0 的某个邻域内连续
- \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1
- \displaystyle\lim_{x\to 0}\varphi(x) = 0,\varphi(x) 在点 x = 0 的某去心邻域内可导且 \varphi'(x) = 0
- \displaystyle\lim_{x\to 0}\psi(x) = 0,\psi(x) 在点 x = 0 的某去心邻域内可导且 \psi'(x) = 0
- \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\varphi'(x)}{\psi'(x)} = 1
则有:
证明:
积分
定积分旋转体体积公式
二重积分旋转体体积公式
区间再现公式:
反常积分审敛法
反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} (a>0, p>0) 的敛散性。
反常积分 \displaystyle \int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q} (q>0) 的敛散性。
总结上两题:大大小小
- 如果积分区间有无穷,则 p > 1 时收敛
- 如果积分区间有瑕点,则 0 < p < 1 时收敛
反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p\ln^q x} (a>0) 的敛散性。
- 当 p > 1 时收敛
- 当 p = 1 时:
- q > 1 时收敛
- q \leqslant 1 时发散
- 当 p < 1 时发散
定理一: 设函数 f(x) 在区间 [a, +\infty) 上连续,且 f(x) \geqslant 0,如果存在常数 p > 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^pf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 发散。
通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷小 \displaystyle \frac{1}{x^p},而 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 和 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx 同敛散,再根据上面的结论,就可以判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性。
定理二: 设函数 f(x) 在区间 (a, b] 上连续,且 f(x) \geqslant 0,x = a 是 f(x) 的瑕点,如果存在常数 0 < q < 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x - a)^qf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - a)f(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^b f(x) dx 发散。
通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷大。
无穷级数
若 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛,且 \displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0,则 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n 绝对收敛;
证明:
由于 \displaystyle\lim_{n \to \infty} v_n = 0,故存在充分大的 N,使得当 n > N 时有 |u_nv_n| < |u_n|;
因此 \displaystyle\displaystyle\sum_{n=N}^\infty |u_n| > \sum_{n=N}^\infty |u_nv_n|,又由于 \displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} |u_nv_n| 为常数
故由 正项级数的比较判别法 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty |u_nv_n| 收敛,即 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_nv_n 绝对收敛;证毕。
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