2023考研数学一真题

CreateTime 2022-12-31
UpdateTime 2022-12-31

2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)


(1) 曲线 \displaystyle y=x\ln\left(e + {1 \over x - 1}\right) 的斜渐近线为

  • (A) y = x + e

  • (B) \displaystyle y = x + {1 \over e}

  • (C) y = x

  • (D) \displaystyle y = x - {1 \over e}


(2) 若微分方程 y'' + ay' + by = 0 的解在 (-\infty, \infty) 上有界,则

  • (A) a < 0, b > 0
  • (B) a > 0, b > 0
  • (C) a = 0, b > 0
  • (D) a = 0, b < 0

(3) 设函数 y = f(x)\displaystyle {\begin{cases} x = 2t + |t| \\ y = |t| \sin t \end{cases}} 确定,则

  • (A) f(x) 连续,f'(0) 不存在

  • (B) f'(0) 存在,f'(x)x = 0 处不连续

  • (C) f'(x) 连续,f''(0) 不存在

  • (D) f''(0) 存在,f''(x)x = 0 处不连续


(4) 已知 a_n < b_n ,(n = 1,2, \cdots) 且级数 \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n, \sum_{n = 1}^\infty b_n 均收敛,则 \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n 绝对收敛是 \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty b_n 绝对收敛的

  • (A) 充要条件

  • (B) 充分不必要条件

  • (C) 必要不充分条件

  • (D) 既不充分也不必要条件


(5) 已知 n 阶矩阵,A,B,C 满组 ABC=O, En 阶单位矩阵,记矩阵 \displaystyle \begin{bmatrix} O & A \\ BC & E \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} AB & C \\ O & E \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} E & AB \\ AB & O \end{bmatrix} 的秩分别为 r_1, r_2, r_3,则

  • (A) r_1 \leqslant r_2 \leqslant r_3
  • (B) r_1 \leqslant r_3 \leqslant r_2
  • (C) r_3 \leqslant r_1 \leqslant r_2
  • (D) r_2 \leqslant r_1 \leqslant r_3

(6) 下列矩阵不能相似于对角矩阵的是

  • (A) \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

  • (B) \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3 \end{bmatrix}

  • (C) \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

  • (D) \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}


(7) 已知向量 \displaystyle \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \displaystyle \alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \displaystyle \beta_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}, \displaystyle \beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},若 \gamma 既可由 \alpha_1, \alpha_2 线性表示,也可由 \beta_1, \beta_2 线性表示,则 \gamma =

  • (A) k\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}

  • (B) k\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}

  • (C) k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}

  • (D) k\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}


(8) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 E(|X - EX|)=

  • (A) \displaystyle{1 \over e}

  • (B) \displaystyle{1 \over 2}

  • (C) \displaystyle{2 \over e}

  • (D) 1


(9) 设 X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本, Y_1,Y_2, \cdots, Y_m 为来自总体 N(\mu, 2\sigma^2) 的简单随机样本,其两样本之间相互独立,记

\begin{aligned} \overline{X} =& {1 \over n} \sum_{i = 1}^n X_i \\ \overline{Y} =& {1 \over m} \sum_{i = 1}^m Y_i \\ S_1^2 =& {1 \over n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2 \\ S_2^2 =& {1 \over m - 1} \sum_{i = 1}^m (Y_i - \overline{Y})^2 \\ \end{aligned}

  • (A) \displaystyle {S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n, m)

  • (B) \displaystyle {S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n - 1, m - 1)

  • (C) \displaystyle {2S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n, m)

  • (D) \displaystyle {2S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n - 1, m - 1)


(10) 设 X_1,X_2 为总体 N(\mu, \sigma^2) 的样本,\sigma > 0 为未知参数,若 \hat{\sigma} = a |X_1 - X_2|\sigma 的无偏估计,则 a =

  • (A) \displaystyle {\sqrt{\pi} \over 2}

  • (B) \displaystyle {\sqrt{2\pi} \over 2}

  • (C) \displaystyle \sqrt{\pi}

  • (D) \displaystyle \sqrt{2\pi}


二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)


(11) 当 x \to 0 时,函数 f(x) = ax + bx^2 + \ln(1 + x)g(x) = e^{x^2} - \cos x 是等价无穷小,则 ab= _____


(12) 曲面 z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)(0, 0, 0) 处的切平面方程为 _____


(13) 函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数,则 f(x) = 1 - x, x \in [0, 1],若 \displaystyle f(x) = {a_0 \over 2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos n \pi x,则 \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_{2n}= _____


(14) 连续函数 f(x) 满组 f(x + 2) - f(x) = x, \displaystyle \int_0^2 f(x) dx = 0,则 \displaystyle \int_1^3 f(x) dx = _____


(15) 向量 \alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\alpha_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\alpha_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\beta=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\theta= k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3,若 \theta^T\alpha_i = \beta^T\alpha_i (i = 1, 2, 3),则 k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = _____


(16) 设随机变量 XY 相互独立,且 \displaystyle X\sim B\left(1, {1 \over 3}\right)\displaystyle Y\sim B\left(2, {1 \over 2}\right)P\{X = Y\}= _____


三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)


(17) (本题满分 10 分)

设曲线 y=y(x)(x > 0) 过点 (1, 2),该曲线上任一点 P(x, y)y 轴距离等于该点切线在 y 轴上的截距

  • (1) 求 y(x)
  • (2) 求函数 \displaystyle f(x) = \int_1^x y(t)dt(0, +\infty) 上的最大值

(18) (本题满分 12 分)

求函数 f(x, y)=(y - x^2)(y-x^3) 的极值


(19) (本题满分 12 分)

设有界区域 \Omega 是由柱面 x^2 + y^2 = 1 与平面 z = 0x + z = 1 围成,\Sigma\Omega 边界的外侧,计算曲面积分

I = \iint_\Sigma 2xz dydz + xz\cos y dzdx + 3yz\sin x dxdy

(20) (本题满分 12 分)

设函数 f(x)[-a, a] 上具有二阶连续导数,证明:

  • (1) 若 f(0) = 0,则存在 \xi \in (-a, a),使得 \displaystyle f''(\xi) = {1 \over a^2} {[f(a) + f(-a)]}

  • (2) 若 f(x)(-a, a) 内取得极值,则存在 \eta \in (-a, a) 使得 \displaystyle f''(\xi) \geqslant {1 \over 2a^2} {[f(a) + f(-a)]}


(21) (本题满分 12 分)

已知二次型

\begin{aligned} f(x_1, x_2, x_3) &= x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3 \\ g(y_1, y_2, y_3) &= y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3 \\ \end{aligned}
  • (1) 求可逆线性变换 x = Py,将 f(x_1, x_2, x_3) 化成 g(y_1, y_2, y_3)
  • (2) 是否存在正交变换 x = Qy,将 f(x_1, x_2, x_3) 化为 g(y_1, y_2, y_3)

(22) (本题满分 12 分)

设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为

f(x, y) = \begin{cases} \displaystyle {2 \over \pi} (x^2 + y^2), & x^2 + y^2 \leqslant 1 \\ 0, &其他 \end{cases}
  • (1) 求 XY 的协方差

  • (2) XY 是否相互独立?

  • (3) 求 Z = X^2 + Y^2 的概率密度