数学分析：函数

创建时间 2020-03-20
更新时间 2020-03-24
分类
数学理论
专题
数学分析

定义

设 X,Y 是集合，并设 P(x,y) 一个涉及对象 x \in X 以及对象 y \in Y 的性质；

使得对每个 x \in X，恰有一个 y \in Y 使 P(x, y) 成立；

那么我们定义在 定义域 X 和 值域 Y 上确定的函数 f:X \rightarrow Y；

函数 f 是这样的对象，它对于给定的任意的输入 x \in X，指定一个输出 f(x) \in Y，它是唯一的使 P(x,f(x)) 成立的对象；

于是对于任何 x \in X 和 y \in Y：

y = f(x) \Leftrightarrow P(x, y) 成立

根据上下文，函数也叫作 映射 或 变换。

相等函数

具有相同的定义域和相同的值域的两个函数 f:X \rightarrow Y，g:X \rightarrow Y，叫作是相等的，记为 f=g，当且仅当对千一切 x \in X，总有 f(x) = g(x)

复合函数

设 f:X \rightarrow Y 和 g:Y \rightarrow Z 是两个函数，使得 f 的值域与 g 的定义域是同一个集合，那么可以定义两个函数 g 与 f 的 复合 由公式

(g \circ f)(x) := g(f(x))

复合结合律

设 f:W \rightarrow Y， g:Z \rightarrow W，h: X \rightarrow Z 都是函数，那么：

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

证明:

由于 g \circ h 是从 X 到 W 的函数，从而 f \circ (g \circ h) 是从 X 到 Y 的函数；

类似地，f \circ g 是从 Z 到 Y 的函数，从而 (f \circ g) \circ h 是从 X 到 Y 的函数；

那么 f \circ (g \circ h) 和 (f \circ g) \circ h 有同样的定义域和值域；

为了证明它们相等，从相等函数的定义，必须验证对于一切 x \in X

(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h) (x)

根据复合函数定义：

\begin{aligned} &(f \circ (g \circ h))(x) \\ =& f((g \circ h)(x))\\ =& f(g(h(x)))\\ =& (f \circ g)(h(x))\\ =& ((f \circ g) \circ h)(x)\\ \end{aligned}

证毕

单射函数

一个函数是一对一的（或单射），如果它把不同的元素映成不同的元素：

x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x')

等价地说，一个函数是一对一的，如果：

f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'

满射函数

一个函数是映上的（或满射），如果 f(X)= Y，即 Y 中的每个元素都由把 f 作用到 X 中的某个元素上而得来：

对于每个 y \in Y，存在 x \in X，使得 f(x) = y

双射函数

既是 单射函数 又是 满射函数 的函数，又叫作 双射 或 可逆映射

如果 f 是双射，那么对于每个 y \in Y，恰有一个 x 使得 f(x)= y；x 的这个值记作 f^{-1}(y)；

于是 f^{-1} 是一个从 Y 到 X 的函数． 我们称 f^{-1} 为 f 的逆．

象和逆象

如果 f:X \rightarrow Y 是一个从 X 到 Y 的函数，而 S 是 X 的一个子集，定义 f(S)是集合

f(S) := {f(x)：X \in S};

这是 Y 的一个子集，称为 S 在映射 f 之下的 象，有时也称 f(S) 为 S 的 前象

逆象

如果 U 是 Y 的一个子集， 定义 f^{-1}(U) 为集合：

f^{-1} (U) := \{x \in X: f(x) \in U\}

换句话说，f^{-1}(U) 由 X 中的一切映入 U 中的元素组成：

f(x) \in U \Leftrightarrow x \in f^{-1}(U)

我们把 f^{-1}(U) 叫作 U 的 逆象

幂集公理

设 X 和 Y 是集合，那么存在一个集合，记作 Y^X ，它由从 X 到 Y 的一切函数组成，即

f \in Y^X \Rightarrow (f 是一个以 X 为定义域以 Y 为值域的函数）

引理 设 X 是集合，那么集合 \{Y: Y是X的子集 \} 也是一个集合

并公理

设 A 是集合，它的每个元素本身是一个集合，那么存在一个集合 \cup A，它的元素确切地是 A 的元素的元素，于是对于一切对象 x：

x \in \cup A \Leftrightarrow（对于某个S \in A，x \in S)

并公理 联合 双元素集公理，蕴含 双并公理

此公理的另一个重要结果是，如果有一个集合 I，且对应于每个元素 \alpha \in I，有一个集合 A_\alpha，那么我们可以构作一个并集 \bigcup_{\alpha \in I}A_\alpha，定义为：

\bigcup_{\alpha \in I}A_\alpha := \bigcup \{A_\alpha : \alpha \in I\}

在这种情况下，我们常把 I 叫作 指标集；

并视此集之元素 \alpha 为 标签；

诸集合 A_\alpha则叫作一个 集合的族（或简称为 集族），它们是贴有标签 \alpha \in A 的

我们可以类似地构作集族的交，只要 指标集 不空。更详细地说，给定任意一个非空的集合，并对千每个 \alpha \in I 指定一个集合 A_\alpha，我们可以这样来定义交集 \bigcap_{\alpha \in I}A_\alpha

首先选某个元素 \beta \in I， 然后令

\bigcap_{\alpha \in I}A_\alpha := \{x \in A_\beta : 对于一切 a \in I , x \in A_\alpha \}

根据分类公理，这是一个集合。

这个定义可能看上去依赖于 \beta 的选择，其实不然，注意，对于任何对象 y：

y \in \bigcap_{\alpha \in I}A_\alpha \Leftrightarrow （对于一切 a \in I , y \in A_\alpha）

集合论的这些我们已引入的公理都叫作集合论的 策梅洛-弗兰克尔公理

序偶

如果 x 和 y 是两个对象（可以相等），定义序偶 (x,y) 为一个新的对象，称 x 为它的第一个分量而 y 为它的第二个分量；

两个序偶 (x,y) 和 (x', y') 看作是相等的，当且仅当它们的两个分量分别相等，即

(x,y)=(x', y') \Leftrightarrow (x=x' 且 y = y')

笛卡尔乘积

如果 X 和 Y 是集合，那么我们定义笛卡儿乘积 X \times Y 为一切序偶的全体；

这些序偶的第一个分量是 X 的元素，第二个分量是 Y 的元素，于是，

X \times Y = \{(x, y): x \in X,y \in Y\}

或者等价地

\alpha \in (X \times Y) \Leftrightarrow （对于某 x \in X 和某 y \in Y，a= (x, y) ）

有序 n 元组及 n 重笛卡儿乘积

设 n 是自然数，一个有序 n 元组 (x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}，也可记作 (x_1,\cdots, x_n)；是由 n 个对象 x_1, \cdots, x_n 按次序构成的一个组，规定 x_i 是第 i 个分量，1 \leqslant i \leqslant n；

两个有序 n 元组 (x_i)_{1\leqslant i \leqslant n} 和 (y_i)_{1\leqslant i \leqslant n} 叫作是相等的，当且仅当对于一切 1 \leqslant i \leqslant n, x_i = y_i；

如果 (x_i)_{1\leqslant i \leqslant n} 是集合的 有序 n 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡儿乘积 \prod_{i = 1}^n X_i 为：

\prod_{i = 1}^n X_i := \{ (x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}: 对于一切 1\leqslant i \leqslant n, x_i \in X_i \}

集合的基数

基数 是 一，二，三…，是用来清点在一个集合中有多少个东西的

序数 是 第一，第二，第三…，是用来确定一列对象的次序

两个集合 X 和 Y 具有同样的基数，当且仅当存在一个从 X 到Y 的双射 f:X \rightarrow Y

设 n 是自然数一个集合 X 叫作具有基数 n，当且仅当它与集合 \{i \in \mathbb{N}: 1 \leqslant i \leqslant n\} 有同样的基数

X 具有 n 个元素， 当且仅当它有基数 n

一个集合是有限的，当且仅当它的基数是某个自然数 n，否则的话集合叫作是无限的如果 X 是有限集，我们用 \#(x) 代表 X 的基数

自然数集 \mathbb{N} 是无限集

参考资料