1993考研数学一真题

创建时间 2021-03-18
更新时间 2021-11-01

1993年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) 函数 \displaystyle F(x) = \int_1^x \left(2 - {1 \over \sqrt{t}} \right)dt \, (x > 0) 的单调减少区间为 _____


(2) 由曲线 \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 12 \\ z = 0 \end{cases},绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, \sqrt{3}, \sqrt{2}) 处的指向外侧的单位法向量为 _____


(3) 设函数 f(x) = \pi x + x^2\,(-\pi < x < \pi) 的傅里叶级数展开式为 \displaystyle {a_0\over 2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx+b_n\sin nx),则其中系数 b_3 的值为 _____


(4) 设数量场 u=\ln \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},则 {\rm div}(\boldsymbol{grad} \ u)= _____


(5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n-1,则线性方程组 Ax=0 的通解为 _____


二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) 设 \displaystyle f(x) = \int_0^{\sin x} \sin(t^2)dt, g(x) = x^3 + x^4,则当 x \to 0 时,f(x)g(x)

  • (A) 等价无穷小
  • (B) 同价但非等价的无穷小
  • (C) 高阶无穷小
  • (D) 低价无穷小

(2) 双纽线 (x^2 + y^2)^2 = x^2-y^2 所围成的区域面积可用定积分表示为

  • (A) \displaystyle 2\int_0^{\pi \over 4} \cos 2\theta d\theta

  • (B) \displaystyle 4\int_0^{\pi \over 4} \cos 2\theta d\theta

  • (C) \displaystyle 2\int_0^{\pi \over 4} \sqrt{\cos 2\theta} d\theta

  • (D) \displaystyle {1 \over 2}\int_0^{\pi \over 4} (\cos 2\theta)^2 d\theta


(3) 设有直线 \displaystyle l_1:{x - 1\over 1} = {y - 5 \over -2} = {z + 8 \over 1}l_2:\begin{cases} x - y = 6 \\ 2y + z = 3 \end{cases},则 l_1l_2 的夹角为

  • (A) \displaystyle {\pi \over 6}

  • (B) \displaystyle {\pi \over 4}

  • (C) \displaystyle {\pi \over 3}

  • (D) \displaystyle {\pi \over 2}


(4) 设曲线积分 \displaystyle \int_L [f(t)-e^x]\sin ydx - f(x)\cos ydy 与路径无关,其中 f(x) 具有一阶连续导数,且 f(0) = 0,则 f(x) 等于

  • (A) \displaystyle {e^{-x} - e^{x} \over 2}

  • (B) \displaystyle {e^x - e^{-x} \over 2}

  • (C) \displaystyle {e^x + e^{-x} \over 2} - 1

  • (D) \displaystyle 1 - {e^x + e^{-x} \over 2}


(5)已知 \displaystyle Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}P 为三阶非零矩阵,且满足 PQ=O,则

  • (A) t = 6P 的秩必为 1
  • (B) t = 6P 的秩必为 2
  • (C) t \neq 6P 的秩必为 1
  • (D) t \neq 6P 的秩必为 2

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)

(1) 求 \displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(\sin {2 \over x} + \cos{1 \over x}\right)^x


(2) 求 \displaystyle\int {xe^x \over \sqrt{e^x - 1}}dx


(3) 求微分方程 x^2y'+xy=y^2,满足初始条件 y\big|_{x=1}=1 的特解


四、(本题满分 6 分)

计算 \displaystyle \iint\limits_\Sigma 2xzdydz + yzdzdx - z^2 dxdy,其中 \Sigma 是由曲面 z=\sqrt{x^2 + y^2}z=\sqrt{2 - x^2 - y^2} 所围立体的表面外侧


五、(本题满分 7 分)

求级数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n(n^2 - n + 1) \over 2^n} 的和


六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)

(1) 设在 [0, +\infty) 上函数 f(x) 有连续导数,且 f'(x) \geqslant k > 0,f(0)<0,证明 f(x)(0,+\infty) 内有且仅有一个零点


(2) 设 b > a > e, 证明 a^b > b^a


七、(本题满分 8 分)

已知二次型 f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 2ax_2x_3 (a > 0) 通过正交变换化成标准形 f = y_1^2 + 2y_2^2 + 5y_3^2,求参数 a 及所用的正交变换矩阵


八、(本题满分 6 分)

An \times m 矩阵,Bm \times n 矩阵,其中 n<mEn 阶单位矩阵,若 AB=E,证明 B 的列向量组线性无关


九、(本题满分 6 分)

设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动,物体 B 从点 (-1,0)A 同时出发,其速度大小为 2v,方向始终指向 A,试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件


十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分)

(1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 _____


(2) 设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布,则随机变量 Y=X^2(0,4) 内的概率密度 f_Y(y)= _____


十一、(本题满分 6 分)

设随机变量 X 的概率密度为 \displaystyle f(x)= {1 \over 2}e^{-|x|}, -\infty < x < +\infty

  • (1) 求 X 的数学期望 EX 和方差 DX
  • (2) 求 X|X| 的协方差,并问 X|X| 是否相关?
  • (3) 问 X|X| 是否相互独立?为什么?