抽象代数基础

代数的一些哲学

代数不外是符号的几何，而几何不外是图形的代数。—— 索菲·格尔曼
^[1]

数学对象的自然属性实质上是不太重要的第二位的事情，例如我们得到的结果既可以用纯几何定理的形式表述，也可以借助解析几何以代数定理的形式出现。—— 尼 · 布尔巴基 ^[1]

重要的不是数学对象，而是它们之间的关系。

几个典型问题

方程的根式解问题

求二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解 $x_1, x_2$ 的公式：

三次方程 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 中，用 $x - {a \over 3}$ 替换 $x$，得到形如 $x^3 + px + q = 0$ 的方程，方程的三个根 $x_1, x_2, x_3$ 可由它的系数表示成下述形式：

立方根满足 $uv = -3p$，可以证明：

上面这个公式叫 卡尔达诺公式。

1827 年阿贝尔证明了 $n$ 次一般方程

当 $n > 4$ 时没有根式解。

多原子分子的状态问题

通信编码间题

平板受热问题

置换

令 $\Omega$ 是 $n$ 元有限集，设 $\Omega = \{1, 2, \cdots, n\}$，由 $\Omega \to \Omega$ 的全体一一变换组成的集合记作 $S_n = S(\Omega)$，称为 置换；

这里设 $\Omega = \{1, 2, \cdots, n\}$，是由于元素的性质对我们来说是非本质的，也就是无关紧要，通常置换用希腊字母表示，仅仅对恒等映射 $e = e_\Omega$ 保留拉丁字母。

整数的算术

算术基本定理：每一个正整数 $n \neq 1$ 都可以分解成素数的乘积 $n = p_1 p_2 \cdots p_s$，这一写法除因子的次序外是唯一的。

群

集合 $X$ 连同其上给定的满足结合律的二元运算称为一个半群，带有单位元的半群通常称为幺半群。

定义：所有元素都可逆的幺半群叫做 群，必须满足如下公理：

• 在集合 $G$ 上定义了一个二元运算 $(x, y) \mapsto xy$
• 满足结合律：任意 $x,y,z \in G$, $(xy)z = x(yz)$
• $G$ 有单位元 $e$：任意 $x \in G$，$xe = ex = x$
• 任意 $x \in G$，存在逆元 $x^{-1}$，使得 $xx^{-1} = x^{-1}x = e$

带有交换二元运算的群叫做交换群，也叫 阿贝尔群

一些待解释的关键字

• 循环群
• 同构
• 同态

环

定义：设 $R$ 是一个非空集合，$R$ 上有两种运算 $+$ 加法，和 $\cdot$ 乘法，满足下述条件：

• $(R, +)$ 是阿贝尔群；
• $(R, \cdot)$ 是半群；
  加法和乘法运算以分配律相联系，即：

$$\begin{aligned} (a + b)c = ac + bc \\ c(a + b) = ca + cb \end{aligned}$$

对任意 $a, b, c \in R$ 成立；
则称 $(R, +, \cdot)$ 是一个 环；

如果任意 $x,y \in R$，有 $xy = yx$ 则称环 $R$ 是交换的；

域

定义：设 $P$ 是一个有单位元 $1 \neq 0$ 的交换环，如果 $P$ 的每一个非零元素都可以逆，则称 $P$ 是一个 域；群 $P^* = U(P)$ 叫做域的乘法群。

域自身是两个阿贝尔群，加法群和乘法群的混合物，它们用分配律联系在一起。

参考

1. [俄] 柯斯特利金 - 《代数学引论》