1997考研数学一真题

CreateTime 2021-03-16
UpdateTime 2021-11-10

1997年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(1) \displaystyle \lim_{x \to 0} {\displaystyle 3\sin x+ x^2 \cos {1 \over x}\over (1+ \cos x) \ln(1 + x)}= _____


(2) 设幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n 的收敛半径为 3,则幂级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n(x - 1)^{n + 1} 的收敛区间为 _____


(3) 对数螺线 \rho=e^\theta 在点 \displaystyle (\rho,\theta)=(e^{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) 处切线的直角坐标方程为 _____

(4) 设 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}B 为三阶非零矩阵,且 AB=O,则 t= _____


(5) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球;今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 _____


二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)


(6) 二元函数 f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle {xy \over x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \\ \end{cases},在点 (0,0)

  • (A) 连续,偏导数存在
  • (B) 连续,偏导数不存在
  • (C) 不连续,偏导数存在
  • (D) 连续,偏导数不存在

(7) 设在区间 [a,b]f(x) > 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0,令

\begin{aligned} S_1 &= \int_a^b f(x)dx, \\ S_2 &= f(b)(b - a), \\ S_3 &= {1 \over 2}[f(a)+ f(b)](b - a), \end{aligned}
  • (A) S_1 < S_2 < S_3
  • (B) S_2 < S_1 < S_3
  • (C) S_3 < S_1 < S_2
  • (D) S_2 < S_3 < S_1

(8) 设 \displaystyle F(x) = \int_x^{x + 2\pi} e^{\sin t} \sin tdt,则 F(x)

  • (A) 为正常数
  • (B) 为负常数
  • (C) 恒为零
  • (D) 不为常数

(9) 设 \displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix},则三条直线

\begin{gathered} a_1x+b_1y+c_1 = 0, \\ a_2x+b_2y+c_2 = 0, \\ a_3x+b_3y+c_3 = 0, \\ \end{gathered}

(其中 a_i^2 + b_i^2 \neq 0, i=1, 2, 3) 交于一点的充要条件是

  • (A) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性相关
  • (B) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关
  • (C) r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)=r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2)
  • (D) \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性相关,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2 线性无关

(10) 设两个相互独立的随机变量 XY 的方差分别为 42,则随机变量 3X-2Y 的方差是

  • (A) 8
  • (B) 16
  • (C) 28
  • (D) 44

三、解答题(本题共 10 小题,共 70 分)


(11)(本题满分 5 分)

计算 \displaystyle I=\iiint\limits_\Omega(x^2+y^2)dv,其中 \Omega 为平面曲线 \begin{cases} y^2 = 2z \\ x = 0 \end{cases}z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区域


(12)(本题满分 5 分)

计算曲线积分 \displaystyle \oint_c (z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中 c 是曲线 \begin{cases}x^2 + y^2 = 1 \\ x - y + z = 2 \end{cases}z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针的


(13)(本题满分 5 分)

在某一人群中推广新技术是通过其中常握新技术的人进行的,设该人群的总人数为 N,在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x_0,在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t) 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数 k>0,求 x(t)


(14)(本题满分 6 分)

设直线 l:\begin{cases} x+y+b=0 \\ x+ay-z-3=0 \end{cases} 在平面 \pi 上,而平面 \pi 与曲面 z = x^2 + y^2 相切于点 (1,-2,5),求 a,b 的值


(15)(本题满分 7 分)

设函数 f(u) 具有二阶连续导数,z = f(e^x\sin y) 满足方程 \displaystyle {\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial y^2} = e^{2x}z,求 f(u)


(16)(本题满分 6 分)

f(x) 连续,\displaystyle \varphi(x) = \int_0^1 f(xt)dt,且 \displaystyle \lim_{x \to 0}{f(x) \over x} = A (A 为常数),求 \varphi'(x) 并讨论 \varphi'(x)x=0 处的连续性


(17)(本题满分 8 分)

a_1 = 0, \displaystyle a_{n+1}= {1 \over 2}\left( a_n + {1 \over a_n}\right) (n=1,2,\cdots),证明

  • (1) \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n 存在

  • (2) 级数 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left({a_n \over a_{n + 1}} - 1\right) 收敛


(18)(本题满分 5 分)

B 是秩为 25\times 4 矩阵,\boldsymbol{\alpha}_1= (1,1,2,3)^T, \boldsymbol{\alpha}_2= (-1,1,4,-1)^T, \boldsymbol{\alpha}_3= (5,-1,-8,9)^T 是齐次线性方程组 Bx=0
的解向量求 Bx=0 解空间的一个标准正交基


(19)(本题满分 6 分)

已知 \displaystyle \xi = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} 是矩阵 \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{bmatrix} 的一个特征向量

  • (1) 试确定 a,b 参数及特征向量 \xi 所对应的特征值
  • (2) 问 A 能否相似于对角阵?说明理由

(20)(本题满分 5 分)

An 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B

  • (1) 证明 B 可逆
  • (2) 求 AB^{-1}

(21)(本题满分 7 分)

从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 \displaystyle {2 \over 5},设 X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望


(22)(本题满分 5 分)

设总体 X 的概率密度为

f(x) = \begin{cases} (\theta+1)x^\theta, & 0<x<1 \\ 0, & 其它 \end{cases}

其中 \theta > -1 是未知参数,X_1,X_2,\cdots,X_n 是来自总体X 的一个容量为 n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求 \theta 的估计量