2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

(1) 曲线 $\displaystyle y=x\ln\left(e + {1 \over x - 1}\right)$ 的斜渐近线为

• (A) $y = x + e$

• (B) $\displaystyle y = x + {1 \over e}$

• (C) $y = x$

• (D) $\displaystyle y = x - {1 \over e}$

(2) 若微分方程 $y'' + ay' + by = 0$ 的解在 $(-\infty, \infty)$ 上有界，则

• (A) $a < 0, b > 0$
• (B) $a > 0, b > 0$
• (C) $a = 0, b > 0$
• (D) $a = 0, b < 0$

(3) 设函数 $y = f(x)$ 由 $\displaystyle {\begin{cases} x = 2t + |t| \\ y = |t| \sin t \end{cases}}$ 确定，则

• (A) $f(x)$ 连续，$f'(0)$ 不存在

• (B) $f'(0)$ 存在，$f'(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

• (C) $f'(x)$ 连续，$f''(0)$ 不存在

• (D) $f''(0)$ 存在，$f''(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

(4) 已知 $a_n < b_n ,(n = 1,2, \cdots)$ 且级数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n, \sum_{n = 1}^\infty b_n$ 均收敛，则 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n$ 绝对收敛是 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty b_n$ 绝对收敛的

• (A) 充要条件

• (B) 充分不必要条件

• (C) 必要不充分条件

• (D) 既不充分也不必要条件

(5) 已知 $n$ 阶矩阵，$A,B,C$ 满组 $ABC=O$, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\displaystyle \begin{bmatrix} O & A \\ BC & E \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} AB & C \\ O & E \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} E & AB \\ AB & O \end{bmatrix}$ 的秩分别为 $r_1, r_2, r_3$，则

• (A) $r_1 \leqslant r_2 \leqslant r_3$
• (B) $r_1 \leqslant r_3 \leqslant r_2$
• (C) $r_3 \leqslant r_1 \leqslant r_2$
• (D) $r_2 \leqslant r_1 \leqslant r_3$

(6) 下列矩阵不能相似于对角矩阵的是

• (A) $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

• (B) $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3 \end{bmatrix}$

• (C) $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

• (D) $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(7) 已知向量 $\displaystyle \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle \alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle \beta_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}$, $\displaystyle \beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma =$

• (A) $k\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}$

• (B) $k\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}$

• (C) $k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}$

• (D) $k\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}$

(8) 设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布，则 $E(|X - EX|)=$

• (A) $\displaystyle{1 \over e}$

• (B) $\displaystyle{1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle{2 \over e}$

• (D) $1$

(9) 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本， $Y_1,Y_2, \cdots, Y_m$ 为来自总体 $N(\mu, 2\sigma^2)$ 的简单随机样本，其两样本之间相互独立，记

则

• (A) $\displaystyle {S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n, m)$

• (B) $\displaystyle {S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n - 1, m - 1)$

• (C) $\displaystyle {2S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n, m)$

• (D) $\displaystyle {2S_1^2 \over S_2^2} \sim F(n - 1, m - 1)$

(10) 设 $X_1,X_2$ 为总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\sigma > 0$ 为未知参数，若 $\hat{\sigma} = a |X_1 - X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a =$

• (A) $\displaystyle {\sqrt{\pi} \over 2}$

• (B) $\displaystyle {\sqrt{2\pi} \over 2}$

• (C) $\displaystyle \sqrt{\pi}$

• (D) $\displaystyle \sqrt{2\pi}$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

(11) 当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = ax + bx^2 + \ln(1 + x)$ 与 $g(x) = e^{x^2} - \cos x$ 是等价无穷小，则 $ab=$ _____

(12) 曲面 $z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)$ 在 $(0, 0, 0)$ 处的切平面方程为 _____

(13) 函数 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，则 $f(x) = 1 - x, x \in [0, 1]$，若 $\displaystyle f(x) = {a_0 \over 2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos n \pi x$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_{2n}=$ _____

(14) 连续函数 $f(x)$ 满组 $f(x + 2) - f(x) = x$, $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = 0$，则 $\displaystyle \int_1^3 f(x) dx =$ _____

(15) 向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\alpha_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\theta= k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，若 $\theta^T\alpha_i = \beta^T\alpha_i$ $(i = 1, 2, 3)$，则 $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 =$ _____

(16) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X\sim B\left(1, {1 \over 3}\right)$，$\displaystyle Y\sim B\left(2, {1 \over 2}\right)$ 则 $P\{X = Y\}=$ _____

三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）

(17) （本题满分 10 分）

设曲线 $y=y(x)(x > 0)$ 过点 $(1, 2)$，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴距离等于该点切线在 $y$ 轴上的截距

• (1) 求 $y(x)$
• (2) 求函数 $\displaystyle f(x) = \int_1^x y(t)dt$ 在 $(0, +\infty)$ 上的最大值

(18) （本题满分 12 分）

求函数 $f(x, y)=(y - x^2)(y-x^3)$ 的极值

(19) （本题满分 12 分）

设有界区域 $\Omega$ 是由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = 0$ 及 $x + z = 1$ 围成，$\Sigma$ 是 $\Omega$ 边界的外侧，计算曲面积分

(20) （本题满分 12 分）

设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有二阶连续导数，证明：

• (1) 若 $f(0) = 0$，则存在 $\xi \in (-a, a)$，使得 $\displaystyle f''(\xi) = {1 \over a^2} {[f(a) + f(-a)]}$

• (2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in (-a, a)$ 使得 $\displaystyle f''(\xi) \geqslant {1 \over 2a^2} {[f(a) + f(-a)]}$

(21) （本题满分 12 分）

已知二次型

• (1) 求可逆线性变换 $x = Py$，将 $f(x_1, x_2, x_3)$ 化成 $g(y_1, y_2, y_3)$
• (2) 是否存在正交变换 $x = Qy$，将 $f(x_1, x_2, x_3)$ 化为 $g(y_1, y_2, y_3)$

(22) （本题满分 12 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

• (1) 求 $X$ 与 $Y$ 的协方差

• (2) $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

• (3) 求 $Z = X^2 + Y^2$ 的概率密度