1989年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）

(1) 已知 $f'(3)=2$，则 $\displaystyle\lim_{h \to 0} {f(3-h) - f(3) \over 2h}=$ _____

(2) 设 $f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle f(x) = x+2\int_0^1 f(t)dt$，则 $f(x)=$ _____

(3) 设平面曲线 $L$ 为下半圆周 $y=-\sqrt{1 - x^2}$，则曲线积分 $\displaystyle\int_L (x^2 + y^2) ds=$ _____

(4) 向量场 $\boldsymbol{u}(x, y, z)=xy^2\boldsymbol{i} + ye^z\boldsymbol{j} + x\ln(1 + z^2)\boldsymbol{k}$ 在点 $P(1, 1, 0)$ 处的散度 ${\rm div} \ \boldsymbol{u}=$ _____

(5) 设矩阵 $\displaystyle A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\1 & 4 & 0 \\0 & 0 & 3 \\\end{bmatrix}, E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}$，则矩阵 $(A-2E)^{-1}=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）

(1) 当 $x>0$ 时，曲线 $\displaystyle y=x\sin{1\over x}$

• (A) 有且仅有水平渐近线
• (B) 有且仅有铅直渐近线
• (C) 既有水平渐近线，又有铅直渐近线
• (D) 既无水平渐近线，又无铅直渐近线

(2) 已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2x+2y+z-1=0$ 则点 $P$ 的坐标是

• (A) $(1, -1, 2)$
• (B) $(-1, 1, 2)$
• (C) $(1, 1, 2)$
• (D) $(-1, -1, 2)$

(3) 设线性无关的函数 $y_1,y_2,y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y''+p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的解，$C_1,C_2$ 是任意常数，则该非齐次方程的通解是

• (A) $C_1y_1 + C_2y_2 + y_3$
• (B) $C_1y_1 + C_2y_2 - (C_1 + C_2)y_3$
• (C) $C_1y_1 + C_2y_2 - (1 - C_1 - C_2) y_3$
• (D) $C_1y_1 + C_2y_2 + (1 - C_1 - C_2) y_3$

(4) 设函数 $f(x)=x^2, 0\leqslant x \leqslant 1$，$\displaystyle S(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\pi x, -\infty < x < +\infty$，其中 $\displaystyle b_n=2\int_0^1 f(x) \sin n\pi x dx, n=1,2,3,\cdots$，则 $\displaystyle S(-{1\over 2})=$

• (A) $\displaystyle -{1 \over 2}$

• (B) $\displaystyle -{1 \over 4}$

• (C) $\displaystyle {1 \over 4}$
• (D) $\displaystyle {1 \over 2}$

(5) 设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵,且 $|A|=0$，则 $A$ 中

• (A) 必有一列元素全为 $0$
• (B) 必有两列元素对应成比例
• (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合
• (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合

三、（本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）

(1) 设 $z=f(2x-y) + g(x, xy)$，其中函数 $f(t)$ 二阶可导，$g(u,v)$ 具有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x\partial y}$

(2)设曲线积分 $\displaystyle\int_C xy^2 dx + y\varphi(x)dy$ 与路径无关，其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数，且 $\varphi(0)=0$，计算 $\displaystyle\int_{(0, 0)}^{(1, 1)} xy^2 dx + y\varphi(x)dy$ 的值

(3)计算三重积分 $\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} (x+ z) dv$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2 + y^2}$ 与 $z=\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 所围成的区域

四、（本题满分 6 分）

将函数 $\displaystyle f(x) = \arctan {1 + x \over 1 - x}$ 展为 $x$ 的幂级数

五、选择题（本题满分 7 分）

设 $\displaystyle f(x) = \sin x - \int_0^x(x - t) f(t) dt$，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$

六、（本题满分 7 分）

证明：方程 $\displaystyle \ln x = {x\over e} - \int_0^\pi \sqrt{1 -\cos 2x} dx$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内有且仅有两个不同实根

七、（本题满分 6 分）

问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组

有解，并求出解的一般形式

八、（本题满分 8 分）

假设 $\lambda$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，证明

• (1) $\displaystyle {1 \over \lambda}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值

• (2) $\displaystyle {|A| \over \lambda}$ 为 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征值

九、（本题满分 9 分）

设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 上，问当 $R$ 取何值时，球面 $\Sigma$ 在定球面内部的那部分的面积最大？

十、填空题（本题共 3 小题，每小题 2 分，满分 6 分）

(1) 已知随机事件 $A$ 的概率 $P(A) = 0.5$，随机事件 $B$ 的概率 $P(B)=0.6$ 及条件概率 $P(B|A)=0.8$，则和事件 $A \cup B$ 的概率 $P(A \cup B)=$ _____

(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 $0.6$ 和 $0.5$，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 _____

(3) 若随机变量 $\xi$ 在 $(1, 6)$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2 + \xi x + 1 = 0$ 有实根的概率是 _____

十一、（本题满分 6 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立,且 服从均值为 $1$，均方差为 $\sqrt{2}$ 的正态分布,而 $Y$ 服从标准正态分布，试求随机变量 $Z=2X-Y+3$ 的概率密度函数