1996年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 设 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left({x+2a \over x -a }\right)^x =8$，则 $a=$ _____

(2) 设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$，且与平面 $4x-y+2z=8$ 垂直，则此平面方程为 _____

(3) 微分方程 $y''-2y'+2y=e^x$ 的通解为 _____

(4) 函数 $u = \ln(x + \sqrt{y^2 + z^2})$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为 _____

(5) 设 $A$ 是 $4\times 3$ 矩阵，且 $A$ 的秩 $r(A)=2$，而 $\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，则 $r(AB)=$ _____

二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

(1) 已知 $\displaystyle {(x+ay)dx+ ydy \over (x+y)^2}$ 为某函数的全微分，则 $a$ 等于

• (A) $-1$
• (B) $0$
• (C) $1$
• (D) $2$

(2) 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f'(0)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to 0} {f''(x) \over |x|} = 1$， 则

• (A) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
• (B) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
• (C) $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
• (D) $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

(3) 设 $a_n>0(n = 1,2,\cdots)$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，常数 $\displaystyle \lambda \in \left(0, {\pi \over 2}\right)$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(n \tan {\lambda \over n}\right)a_{2n}$

• (A) 绝对收敛
• (B) 条件收敛
• (C) 发散
• (D) 散敛性与 $\lambda$ 有关

(4) 设有 $f(x)$ 连续的导数，$f(0) = 0$, $f'(0) \neq 0$, $\displaystyle F(x) = \int_0^x (x^2 - t^2)f(t)dt$，且当 $x \to 0$ 时，$F'(x)$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k$ 等于

• (A) $1$
• (B) $2$
• (C) $3$
• (D) $4$

(5) 四阶行列式 $\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4 \\ \end{vmatrix}$ 的值等于

• (A) $a_1a_2a_3a_4 - b_1b_2b_3b_4$
• (B) $a_1a_2a_3a_4 + b_1b_2b_3b_4$
• (C) $(a_1a_2 - b_1b_2)(a_3a_4 - b_3b_4)$
• (D) $(a_2a_3 - b_2b_3)(a_1a_4 - b_1b_4)$

三、（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）

• (1) 求心形线 $r = a(1+\cos \theta)$ 的全长，其中 $a>0$ 是常数

• (2) 设 $x_1=10$，$x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}$ $(n=1,2,\cdots)$，试证数列 $\{x_n\}$ 极限存在，并求此极限

四、（本题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）

• (1) 计算曲面积分 $\displaystyle \iint\limits_S(2x+ z)dydz + zdxdy$，其中 $S$ 为有向曲面 $z = x^2 + y^2(0 \leqslant x \leqslant 1)$，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角
• (2) 设变换 $\begin{cases}u=x-2y \\ v = x + ay \end{cases}$ 可把方程 $\displaystyle 6{\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial x\partial y} - {\partial^2 z \over \partial y^2} = 0$ 简化为 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial u \partial v}=0$，求常数 $a$

五、（本题满分 7 分）

求级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty {1 \over (n^2 - 1)2^n}$ 的和

六、（本题满分 7 分）

设对任意 $x>0$，曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\displaystyle {1 \over x} \int_0^x f(t)dt$，求 $f(x)$ 的一般表达式

七、（本题满分 8 分）

设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足条件 $|f(x)|\leqslant a$, $|f''(x)| \leqslant b$，其中 $a,b$ 都是非负常数，$c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点，证明 $\displaystyle |f'(c)| \leqslant 2a + {b \over 2}$

八、（本题满分 6 分）

设 $A=E - \xi\xi^T$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\xi$ 是 $n$ 维非零列向量，$\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明

• (2) $A^2 = A$ 的充分条件是 $\xi^T\xi=1$
• (2) 当 $\xi^T\xi=1$ 时，$A$ 是不可逆矩阵

九、（本题满分 8 分）

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1^2 + 5x_2^2 + cx_3^2 - 2x_1x_2 + 6x_1x_3 - 6x_2x_3$ 的秩为 $2$

• (1) 求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值
• (2) 指出方程 $f(x_1,x_2,x_3)=1$ 表示何种二次曲面

十、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分）

(1) 设工厂 $A$ 和工厂 $B$ 的产品的次品率分别为 $1\%$ 和 $2\%$，现从由 $A$ 和 $B$ 的产品分别占 $60\%$ 和 $40\%$ 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 $A$ 生产的概率是 _____

(2) 设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $N\left(0, \left({1 \over \sqrt{2}}\right)^2\right)$ 的随机变量，则随机变量 $|\xi - \eta|$ 的数学期望 $E(|\xi - \eta|)=$ _____

十一、（本题满分 6 分）

设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 $\xi$ 的分布率为 $\displaystyle P\{\xi=i\}={1 \over 3}$, $i=1,2,3$，又设 $X =\max\{\xi, \eta \}$,$Y =\min\{\xi, \eta \}$

• (1) 写出二维随机变量的分布率

• (2) 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$