2008考研数学一真题
2008年全国硕士研究生招生考试数学一试题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
(1) 设函数 \displaystyle f(x) = \int_0^{x^2} \ln(2 + t) dt，则 f'(x) 的零点个数为
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
(2) 函数 \displaystyle f(x, y)= \arctan {x \over y} 在点 (0,1) 处的梯度等于
- (A) \boldsymbol{i}
- (B) -\boldsymbol{i}
- (C) \boldsymbol{j}
- (D) -\boldsymbol{j}
(3) 在下列微分方程中，以 y = C_1e^x + C_2\cos 2x + C_3 \sin 2x (C_1, C_2,C_3 为任意常数) 为通解的是
- (A) y''' + y'' - 4y' - 4y = 0
- (B) y''' + y'' + 4y' + 4y = 0
- (C) y''' - y'' - 4y' + 4y = 0
- (D) y''' - y'' + 4y' - 4y = 0
(4) 设函数 f(x) 在 (-\infty, +\infty) 内单调有界，\{x_n\} 为数列，下列命题正确的是
- (A)若 \{x_n\} 收敛，则 \{f(x_n)\} 收敛
- (B)若 \{x_n\} 单调，则 \{f(x_n)\} 收敛
- (C)若 \{f(x_n)\} 收敛，则 \{x_n\} 收敛
- (D)若 \{f(x_n)\} 单调，则 \{x_n\} 收敛
(5) 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A^3 = O，则
- (A) E-A 不可逆，E+A 不可逆
- (B) E-A 不可逆，E+A 可逆
- (C) E-A 可逆，E+A 可逆
- (D) E-A 可逆，E+A 不可逆
(6) 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 \displaystyle (x, y, z)A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}=1 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
(7) 设随机变量 X,Y 独立同分布且 X 分布函数为 F(x)，则 Z = \max\{X, Y\} 分布函数为
- (A) F^2(x)
- (B) F(x)F(y)
- (C) 1-[1-F(x)]^2
- (D) [1-F(x)][1-F(y)]
(8) 设随机变量 X \sim N(0, 1)，Y\sim N(1, 4)，且相关系数 \rho_{XY} = 1，则
- (A) P\{Y = -2X - 1\} = 1
- (B) P\{Y = 2X - 1\} = 1
- (C) P\{Y = -2X + 1\} = 1
- (D) P\{Y = 2X + 1\} = 1
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
(9) 微分方程 xy' + y = 1 满足条件 y(1) = 1 的解是 y= _____
(10) 曲线 \sin (xy) + \ln(y - x) = x 在点 (0, 1) 处的切线方程为 _____
(11) 已知幂级数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x + 2)^n 在 x=0 处收敛，在 x = -4 处发散，则幂级数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x - 3)^n 的收敛域为 _____
(12) 设曲面 \Sigma 是 z=\sqrt{4 - x^2 - y^2} 的上侧，则 \displaystyle \iint\limits_\Sigma xy dydz + x dzdx + x^2 dxdy = _____
(13) 设 A 为 2 阶矩阵，\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2 为线性无关的 2 维列向量，A\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{0}，A\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2，则 A 的非零特征值为 _____
(14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P\{X=E(X^2)\}= _____
三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）
(15) （本题满分 10 分）
求极限 \displaystyle \lim_{x \to 0} {[\sin x - \sin(\sin x)] \sin x \over x^4}
(16) （本题满分 10 分）
计算曲线积分 \displaystyle \int_L \sin 2x dx + 2(x^2 - 1)dy，其中 L 是曲线 y=\sin x 上从点 (0, 0) 到点 (0, \pi) 的一段
(17) （本题满分 10 分）
已知曲线 C:\begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0 \\x + y + 3z = 5 \end{cases}，求曲线 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点
(18) （本题满分 10 分）
设函数 f(x) 连续
- (1) 利用定义证明函数 \displaystyle F(x) = \int_0^xf(t) dt 可导，且 F'(x)=f(x)
- (2) 当 f(x) 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 \displaystyle G(x) = 2\int_0^xf(t) dt - x\int_0^2f(t) dt 也是以 2 为周期的周期函数
(19) （本题满分 10 分）
f(x) = 1 - x^2 (0 \leqslant x \leqslant \pi) 展开成余弦级数，并求 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n - 1} \over n^2} 的和
(20) （本题满分 11 分）
A=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T + \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^T，\boldsymbol{\alpha}^T 为 \boldsymbol{\alpha} 的转置，\boldsymbol{\beta}^T 为 \boldsymbol{\beta} 的转置，证明：
- (1) r(A) \leqslant 2
- (2) 若 \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} 线性相关，则 r(A) < 2
(21) （本题满分 11 分）
设 n 元线性方程组 Ax = b，其中
\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ a^2 & 2a & 1 \\ & a^2 & 2a & 1 \\ & & \ddots & \ddots & \ddots\\ &&& a^2 & 2a & 1 \\ &&&& a^2 & 2a \end{bmatrix}， \displaystyle x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}，\displaystyle b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}
- (1) 证明行列式 |A| = (n + 1)a^n
- (2) a 为何值时，该方程组有唯一解，求 x_1
- (3) a 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解
(22) （本题满分 11 分）
设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 \displaystyle P\{X=i\}={1\over 3} (i = -1, 0, 1) Y 的概率密度为 \displaystyle f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant y < 1 \\ 0, 其他 \end{cases}，记 Z=X+Y
- (1) 求 \displaystyle P\left\{Z\leqslant {1 \over 2} \bigg| X = 0\right\}
- (2) 求 Z 的概率密度 f_Z(z)
(23) （本题满分 11 分）
设 X_1, X_2, \cdots, X_n 是总体 N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本，记 \displaystyle \overline{X}={1\over n}\sum_{i = 1}^n X_i，\displaystyle S^2={1\over n - 1}\sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2，\displaystyle T = \overline{X} - {1\over n} S^2
- (1) 证明 T 是 \mu^2 的无偏估计量
- (2) 当 \mu = 0, \sigma = 1 时，求 DT
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