微积分常用概念和公式

CreateTime 2019-04-29
UpdateTime 2021-03-22

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基础公式

三次方和差公式

\begin{aligned} (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \\ \end{aligned}

排列组合公式

A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}
C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = C_n^{n-m}
\sum_{i=0}^{k} C_m^iC_n^{k-i} = C_{m+n}^k

三角函数公式

基础公式

\sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1
\cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1
\csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha = 1

倍角公式

\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1
\sin 3\alpha = -4\sin^3 \alpha + 3\sin \alpha
\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha)
\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)
\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\cot 2\alpha = \frac{\cot^2 \alpha - 1}{2\cot \alpha}

半角公式

\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}(1 - \cos \alpha)
\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}(1 + \cos \alpha)
\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1+\cos\alpha}}
\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin \alpha} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha} {1 - \cos\alpha}}

和差公式

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta
\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
\cot(\alpha\pm\beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta \mp 1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}

积化和差公式

\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) ]
\cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) ]
\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) ]
\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) ]

和差化积公式

\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}
\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}
\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}

经典不等式公式

a b 为实数

2|ab| \leqslant a^2 + b^2
| a \pm b| \leqslant | a | + | b |
\big| |a| - |b| \big| \leqslant | a-b|
|a_1 \pm a_1 \pm \cdots \pm a_n| \leqslant | a_1 | + | a_1 | + \cdots + | a_n |
\left| \int_a^bf(x)dx \right| \leqslant \int_a^b| f(x) | dx\ (a<b)

a_1,a_2,\cdots,a_n>0

几何平均数大于调和平均数

\frac{n}{\displaystyle \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}

算术平均数大于几何平均数

\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \leqslant \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}

平方平均数大于算术平均数

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \leqslant \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}

次方平均数的大小

\begin{aligned} \sqrt[p]{\frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n}} \leqslant \sqrt[q]{\frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n}} & (0 < p < q ) \end{aligned}

以上,当且仅当 a_1 = a_2 = \cdots = a_n 时等号成立


更多不等式,参见 不等式


基本放缩法

\begin{cases} n\cdot u_{\min} \leqslant u_1 + u_2 + \cdots + u_n \leqslant n \cdot u_{\max} \\ u_{\max} \leqslant u_1 + u_2 + \cdots + u_n \leqslant n \cdot u_{\max} &(u_i \geqslant 0) \\ \end{cases}

两个重要极限

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{ x } = 1
\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e

常用泰勒公式

\begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)\\ R_n(x) &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{(n+1)}\ \xi \in (x, x_0) \\ R_n(x) &= o[(x - x_0)^n] \end{aligned}
sin\ x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})
cos\ x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)
tan\ x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
arcsin\ x = x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)
arctan\ x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)
(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + o(x^2)

重要幂级数展开式

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots, -\infty < x < +\infty
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + \cdots, -1 < x < 1
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots , -1 < x < 1
ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots, -1 < x \leqslant 1
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} + \cdots, -\infty < x < + \infty
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, -\infty < x < + \infty

基本求导公式

(C)' = 0
(x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1}

(\sin x)' = \cos x
(\cos x)' = -\sin x
(\tan x)' = \sec^2x
(\cot x)' = -\csc^2 x
(\sec x)' = \sec x \tan x
(\csc x)' = - \csc x \cot x

(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
(\arctan x)' = \frac{1}{1+ x^2}
(arccot\ x)' = \frac{-1}{1+ x^2}

(a^x)' = a^xln\ a
(e^x)' = e^x
(\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a}
(\ln x)' = \frac{1}{x}

(u \pm v)' = u' \pm v'
(Cu)' = Cu'
(uv)' = u'v + uv'
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

莱布尼茨求导公式

(u \cdot v)'' = u''\cdot v + 2 u' \cdot v' + u \cdot v''
(u \cdot v) ^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}

高阶导数

(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x

(e^x)^{(n)} = e^x

\displaystyle (\sin kx)^{(n)} = k^n\sin \left(\frac{n\pi}{2} + kx\right)

\displaystyle (\cos kx)^{(n)} = k^n\cos \left(\frac{n\pi}{2} + kx\right)

\displaystyle (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}

\displaystyle [\ln(1 + x)]^{(n)} = (-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{(1 + x)^n}

\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n + 1}}

\displaystyle \left(\frac{1}{x + a}\right)^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{(x + a)^{n + 1}}

\displaystyle (x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m - n + 1) x^{m - n}

\displaystyle (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}


中值定理

基本定义及证明,参见 中值定理的证明

辅助函数类型:证明过程参见 中值定理辅助函数类型

中值等式 G(\xi) = 0 辅助函数 F(x)
\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)} = 0 \ln f(x)
f'(\xi) + A\xi^k + B = 0 \displaystyle f(x) + \frac{Ax^{k+1}}{k+1} + Bx
f(a)g'(\xi)-f'(\xi)g(a) - k = 0 f(a)g(x) - f(x)g(a) - kx
\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}a_i(n-i)\xi^{n-1-i} = 0 \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}a_i x^{n-i}
f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0 f(x)g(x)
f(\xi)g''(\xi) - f''(\xi)g(\xi) = 0 f(x)g'(x) - f'(x)g(x)
\xi f'(\xi) + kf(\xi) = 0 x^kf(x)
(\xi - 1)f'(\xi) + kf(\xi) = 0 (x-1)^kf(x)
f'(\xi)g(1-\xi) - kf(\xi)g'(1-\xi) = 0 g^k(1-x)f(x)
f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0 e^{\lambda x}f(x)
f'(\xi) + g'(\xi)f(\xi) = 0 e^{g(x)}f(x)
\xi f'(\xi) - kf(\xi) = 0 \displaystyle\frac{f(x)}{x^k}
f'(\xi) - kf(\xi) = 0 \displaystyle\frac{f(x)}{e^{kx}}
\displaystyle f(\xi) + \frac{x - b}{a}f'(\xi) = 0 (x - b)^a f(x)
f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0 \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}
\displaystyle\frac{1-\xi^2}{(1+ \xi^2)^2} = 0 \displaystyle\frac{x}{1+x^2}
f'(\xi) - f(\xi) + k\xi - k = 0 \displaystyle\frac{f(x) - kx}{e^{x}}
f''(\xi) + f'(\xi) - k = 0 e^x[f'(x) - k]
f'(\xi) + k[f(\xi)-\xi] -1 = 0 e^{kx}[f(x) - x]
f''(\xi) - f(\xi) = 0 e^x[f(x) - f'(x)]

定积分

\begin{cases} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n} = \int_0^1f(t)dt \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} f\left(\frac{x\cdot i}{n}\right) \frac{x}{n} = \int_0^xf(t)dt \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} f\left(a + \frac{(b - a)\cdot i}{n}\right) \frac{b - a}{n} = \int_a^bf(t)dt \end{cases}

弧长公式(第一型曲线积分)

\begin{aligned} S =& \int_a^b \sqrt{1 + y'^2} dx \\ \xlongequal{x=\varphi(t);y=\psi(t)}& \int_{a_t}^{b_t} \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} dt \\ \xlongequal{x=r\cos\theta;y=r\sin\theta}& \int_{a_\theta}^{b_\theta} \sqrt{[r'\cos\theta - r\sin \theta]^2 + [r'\sin\theta + r\cos\theta]^2} d\theta \\ =& \int_{a_\theta}^{b_\theta} \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta \\ \end{aligned}

曲率

\begin{aligned} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} &= \frac{|\arctan f'(x + \Delta x) - \arctan f'(x)|} {s(x + \Delta x) - s(x)} \\ &=\frac{|\frac{\arctan f'(x + \Delta x) - \arctan f'(x)}{\Delta x}|} {\frac{s(x + \Delta x) - s(x)}{\Delta x}} \end{aligned}
|\frac{d}{dx}(\arctan f'(x))| = |\frac{d}{dx}(\arctan y')| = \frac{|y''|}{1 + (y')^2}
\frac{ds(x)}{dx} = \sqrt{1 + (y')^2}
k = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} = \frac{|y''|}{[1 + (y')^2]^{3/2}}
k = \frac{1}{R}

\begin{cases}\displaystyle x=x(t) \\ y=y(t) \\ \end{cases},则:

k = \frac{|y''x' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}

基本积分公式

\int k dx = kx + C
\int x^\mu dx = \frac{1}{\mu + 1}\cdot x^{\mu + 1} + C \ (\mu \neq -1)
\int \frac{dx}{x} = ln|x| + C

\int \cos x dx = \sin x + C
\int \sin x dx = -\cos x +C
\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \int \sec^2 x dx = \tan x + C
\int \frac{dx}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C
\int \sec x \tan x dx = \sec x + C
\int \csc x \cot x dx = - \csc x + C

\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C
\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C
\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a}\right| + C
\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x+a}{x-a}\right| + C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C
\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C
\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = - \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a} + C

\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{d \cos x}{\cos x} = - \ln | \cos x| + C
\int \cot x dx = \ln | \sin x | + C
\int \csc x dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C
\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C

\int e^x dx = e^x + C
\int a^x dx = \frac{1}{\ln a} a^x + C

万能代换

\begin{aligned} u =& \tan\frac{x}{2} \\ \sin x =& \frac{2u}{1+u^2} \\ \cos x =& \frac{1-u^2}{1+u^2} \\ dx =& \frac{2}{1+u^2}du \end{aligned}

万能代换可以将三角函数换成有理分式的形式来进行积分


\left\{ \begin{aligned} \sqrt{a^2 - x^2} \rightarrow x &= asin\ t\\ \sqrt{a^2 + x^2} \rightarrow x &= atan\ t\\ \sqrt{x^2 - a^2} \rightarrow x &= asec\ t\\ \end{aligned} \right.
\int udv = uv - \int vdu

变限积分函数求导

\begin{aligned} F(x) &= \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(t) dt\\ F'(x)&= \frac{d}{dx}[\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(t) dt] = f[\varphi_{2}(x)]\varphi'_{2}(x) - f[\varphi_{1}(x)]\varphi'_{1}(x) \end{aligned}

旋转体体积

曲边梯形 0 \leqslant y \leqslant f(x) (a\leqslant x\leqslant b)

x 轴旋转一周所生成的旋转体体积

V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx

a \geqslant 0 时,绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积

V_y = 2\pi \int_a^b xf(x) dx

旋转体的侧面积

y = f(x)f(x) \geqslant 0a < x < bx 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积 为:

S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

若曲线由参数方程 x = x(t)y=y(t)\geqslant 0t\in[\alpha, \beta] 给出,那么旋转体的侧面积为:

S = 2\pi \int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt

二重积分旋转体体积

区域 D(x, y) \geqslant 0

x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 \displaystyle V_x = 2\pi \iint\limits_D y d\sigma

y 轴旋转一周所生成的旋转体体积 \displaystyle V_y = 2\pi \iint\limits_D x d\sigma

D=\{(r, \theta)|0\leqslant \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\}

极轴x 轴)旋转一周所生成的旋转体体积:

\begin{aligned} V_x =& 2\pi \iint\limits_D y d\sigma \\ =& 2\pi \int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{r(\theta)} r\sin \theta r dr \\ =&\frac{2\pi}{3}\int_\alpha^\beta r^3(\theta) \sin \theta d\theta \end{aligned}

古尔丁定理

上半平面内一个有界比区域 D x 旋转一周生成的旋转体的体积,等于 该区域的 形心纵坐标 为半径的圆的周长 与 D 的面积 A 的乘积:

\begin{aligned} V_x =& 2\pi \iint\limits_D y d\sigma \\ =& 2\pi A\cdot \frac{1}{A} \iint\limits_D y d\sigma \\ =& 2\pi A \overline{y} \\ \end{aligned}

区间再现公式

\begin{aligned} & \int_a^b f(x) dx \\ \xlongequal{x = a+b-t}& \int_b^a f(a+b-t) d(-t) \\ =& \int_a^b f(a+b-t) dt \\ =& \int_a^b f(a+b-x) dx \end{aligned}

无穷级数

关于 级数 是很微妙的,严格的说级数是一个形如 \displaystyle\sum_{i=m}^n a_i 的表达式,例如 1 + 2 + 3 + 4 + 5 是一个级数,它的和是 15,一般不会把 15 看作是级数。也不会认为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 是一个和。

当级数的项数 n\to \infty,级数就是无穷级数了。


正项级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛 \Leftrightarrow 部分和数列有上界。

比较判别法

0 \leqslant u_n \leqslant v_n,则:

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛。

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 发散 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 发散。


比较判别法的极限形式

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l (0 \leqslant l \leqslant +\infty),则:

  • 0 < l < +\infty,则 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 同敛散;
  • l = 0,则:
    • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛,
    • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 发散 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 发散;
  • l = +\infty
    • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛,
    • \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n 发散 \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 发散;

比值判别法

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 为正项级数,\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \rho,则级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n

  • \rho < 1 时,收敛
  • \rho > 1 时,发散
  • \rho = 1 时,不确定

根值判别法

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n 为正项级数,\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho,则级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n

  • \rho < 1 时,收敛
  • \rho > 1 时,发散
  • \rho = 1 时,不确定

莱布尼茨判别法

u_n \geqslant u_{n+1} (n = 1,2,\cdots)\displaystyle \lim_{n\to\infty} = 0,则级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n u_n 收敛.

无穷级数的和函数

\begin{cases} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n - 1} = \frac{1}{(1 - x)^2} & (-1 < x < 1) \\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n} = -\ln(1 - x) & (-1 \leqslant x < 1) \\ \end{cases}

反常积分审敛法

反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} (a>0, p>0) 的敛散性。

\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{x^{1-p}}{1-p}\bigg|_a^{+\infty} &(p \neq 1) \\ \ln x\bigg|_a^{+\infty} &(p = 1) \end{cases} \end{aligned}
\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \infty &(0 <p \leqslant 1) \\ \frac{a^{1-p}}{p-1} &(p > 1) \end{cases} \end{aligned}

反常积分 \displaystyle \int_a^b \frac{dx}{(x-a)^q} (q>0) 的敛散性。

\begin{aligned} \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \infty &(q \geqslant 1) \\ \frac{(b - a)^{1-q}}{1-q} &(0 < q < 1) \end{cases} \end{aligned}

总结上两题:大大小小

  • 如果积分区间有无穷,则 p > 1 时收敛
  • 如果积分区间有瑕点,则 0 < p < 1 时收敛

反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p\ln^q x} (a>0) 的敛散性。

  • p > 1 时收敛
  • p = 1 时:
    • q > 1 时收敛
    • q \leqslant 1 时发散
  • p < 1 时发散

定理一: 设函数 f(x) 在区间 [a, +\infty) 上连续,且 f(x) \geqslant 0,如果存在常数 p > 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^pf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} xf(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 发散。

通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷小 \displaystyle \frac{1}{x^p},而 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx\displaystyle \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx 同敛散,再根据上面的结论,就可以判断 \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) dx 的敛散性。


定理二: 设函数 f(x) 在区间 (a, b] 上连续,且 f(x) \geqslant 0x = af(x) 的瑕点,如果存在常数 0 < q < 1,使得 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x - a)^qf(x) = c,那么反常积分 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 收敛,如果 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - a)f(x) = d>0,那么反常积分\displaystyle \int_a^b f(x) dx 发散。

通俗解释是:要想判断 \displaystyle \int_a^b f(x) dx 的敛散性,只需要找到 x \to \infty 时被积函数 f(x) 的等价或者同阶无穷大。


常微分方程公式

变量可分离型

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= f(x)g(y) \\ \int \frac{dy}{g(y)} &=\int f(x)dx \end{aligned}

可化为变量可分离型

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= f(ax + by + c) \\ u &= ax + by + c \\ \frac{du}{dx} &= a + b\frac{dy}{dx}\\ \frac{du}{dx} &= a + bf(u) \end{aligned}

齐次微分方程

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \varphi(\frac{y}{x}) \\ u &= \frac{y}{x} \\ y &= ux \\ \frac{dy}{dx} &= u + x\frac{du}{dx}\\ x\frac{du}{dx} + u &= \varphi(u) \\ \frac{du}{\varphi(x) - u} &= \frac{dx}{x} \end{aligned}

一阶线性微分方程

\begin{aligned} y' + p(x)y &= q(x) \\ v(x) &= e^{\int p(x)dx} \\ y &= \frac{1}{v(x)}\left[\int v(x) \cdot q(x) dx + C \right] \end{aligned}

推导过程参见 一阶线性方程公式推导


伯努利微分方程

\begin{aligned} y' + p(x)y &= q(x)y^n \\ y^{-n}\cdot y' + p(x) y^{1-n} &= q(x) \\ z &= y^{1-n} \\ \frac{dz}{dx} &= (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\\ \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx} + p(x)z &= q(x) \\ \frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z &= (1-n)q(x) \\ v(x) &= e^{(1-n)\int p(x)dx} \\ z &= \frac{1}{v(x)}\left[(1-n)\int v(x) \cdot q(x) dx + C \right] \\ y & = \sqrt[1-n]{z} \end{aligned}

可降阶的高阶微分方程

  • y^{(n)} = f(x)

可通过 n 次积分得到通解

  • y'' = f(x, y') 型 (方程中不显含 y

作变换 y' = p(x),则 \displaystyle y'' = \frac{dp}{dx},代入原方程可得 \displaystyle \frac{dp}{dx} = f(x, p),变为关于 x 的一阶方程。

  • y'' = f(y, y') 型 (方程中不显含 x

作变换 y' = p(y),则 \displaystyle y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy},代入原方程可得 \displaystyle \frac{dp}{dx} = f(x, p),变为关于 p, y 的一阶方程。


二阶常系数齐次线性微分方程

\begin{aligned} y'' + py' + qy &= 0 \\ \lambda^2 + p\lambda + q &= 0 \Rightarrow \lambda_1,\lambda_2\\ \Downarrow \end{aligned}
\begin{aligned} \lambda_1 \neq \lambda_2 &\Rightarrow y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \\ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda &\Rightarrow y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x} \\ \lambda = \alpha \pm \beta i &\Rightarrow y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \\ \xlongequal[e^{ix} = \cos x + i \sin x]{欧拉公式} e^{\alpha x}& (C_1 \cos \beta x + C_2\sin \beta x) \end{aligned}

二阶常系数非齐次线性微分方程

y'' + py' + qy = f(x)

f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}

y^* = e^{\alpha x}Q_n(x)x^k

其中 e^{\alpha x} 照抄;

Q_n(x)xn 次一般多项式;

k = \begin{cases} 0, & \alpha \neq \lambda_1, \alpha \neq \lambda_2, \\ 1, & \alpha = \lambda_1\ or\ \alpha = \lambda_2, \\ 2, & \alpha = \lambda_1 = \lambda_2, \\ \end{cases}

f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x + P_n(x) \sin \beta x]

y^* = e^{\alpha x}[Q^{(1)}_l(x)\cos\beta x + Q^{(2)}_l(x) \sin \beta x]x^k

其中 e^{\alpha x} 照抄;

l=\max\{m,n\}

Q^{(1)}_l,Q^{(2)}_l 分别为 x 的两个不同的 l 次一般多项式;

k = \begin{cases} 0, &\alpha \pm \beta i 不是特征根,\\ 1, &\alpha \pm \beta i 是特征根,\\ \end{cases}

二阶常系数线性微分方程求特解的微分算子法,参见文章末尾,可以加快计算速度。


欧拉方程:

形如 x^ny^{(n)} + p_1x^{n - 1}y^{(n-1)} \cdots + p_{n-1}xy'+ p_ny = f(x) 的方程,称为欧拉方程

可以通过欧拉变换 x = e^t,则 t = \ln x\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2},将方程化为常系数方程来求解。


空间解析几何公式

向量表达式

a = (a_x, a_y, a_z) = a_x i + a_y j + a_z k

两点 (x_0, y_0, z_0) (x_1, y_1, z_1) 之间的距离

d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2}

(x_0, y_0, z_0) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

M_0(x_0, y_0, z_0) 到直线 \displaystyle\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} 的距离

\begin{aligned} &M_1(x_1, y_1, z_1) \\ s &= (a, b, c) \\ d &= \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times s|}{|s|} \end{aligned}

上面这个公式不好记,有必要说明一下,两个向量的叉乘的模长是对应包围着的平行四边形的面积,除以底边 向量 |\overrightarrow{s}| 的模长,就能算出平行四边形对应底边 s 的高,也就是点到直线的距离。


空间曲面向量场

  • 梯度场:曲面的法向量的方向,此方向的方向导数绝对值最大
  • 环量:向量场在曲线或曲面切线方向上的分量的积分,是一个标量
  • 通量:向量场在曲线或曲面法线方向上的分量的积分,是一个标量
  • 旋度:环量的密度,就是向量场在曲线或曲面切线方向上的分量
  • 散度:通量的密度,就是向量场在曲线或曲面法线方向上的分量

向量场 \boldsymbol{F} = P\boldsymbol{i} + Q\boldsymbol{j} + R\boldsymbol{k} 在点 (x_0, y_0, z_0) 处:

梯度场

\nabla \boldsymbol{F} = \frac{\partial P}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial Q}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial R}{\partial z}\boldsymbol{k}

梯度

grad \boldsymbol{F} = \left(\frac{\partial P}{\partial x} , \frac{\partial Q}{\partial y} , \frac{\partial R}{\partial z}\right)\Big|_{(x_0, y_0, z_0)}

散度

div \boldsymbol{F} = \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\Big|_{(x_0, y_0, z_0)}

旋度

curl \boldsymbol{F} = rot \boldsymbol{F} = \nabla \boldsymbol{F} = \left| \begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} \right| = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) \boldsymbol{i} + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) \boldsymbol{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \boldsymbol{k}

方向导数

\left(\frac{\partial f}{\partial s} \right)_{u, p_0} = (\nabla f)_{p_0} \cdot u

空间曲面方程

椭球面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1

单叶双曲面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1

双叶双曲面

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1

椭圆抛物面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z

椭圆锥面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2

双曲抛物面(马鞍面)

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z

椭圆柱面

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

双曲柱面

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

抛物柱面

y = ax^2

以上函数图像参见 考研常用函数图像

更多曲线曲面方程函数图像参见 一些重要的函数图像


多元函数微分学

全微分

\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)

其中 \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2},则称 f(x, y) 在点 (x_0, y_0) 处可微,且 A\Delta x + B\Delta y 称为 z=f(x, y) 在点 (x_0, y_0) 的全微分,记为 dz,即 dz = A\Delta x + B\Delta y,而且 f'_x(x_0, y_0) = Af'_y(x_0, y_0) = B

z = f(x, y) 在点 P(x_0, y_0) 可微实际上是在找 P 点关于曲面 z 的切平面,若切平面存在,则可微,(A, B, -1) 即为切平面的法向量;若切平面不存在,则不可微;

该思想可以很容易的拓展到高维空间,可微即是 切超平面 存在。


可微的必要条件

z = f(x, y) 在点 (x_0, y_0) 可微,则在点 (x_0, y_0) 处的两个偏导数都存在, f'_x(x_0, y_0) = Af'_y(x_0, y_0) = B


可微的充分条件

如果 f(x, y) 的两个偏导数 f'_x(x, y)f'_y(x, y) 在点 (x_0, y_0) 连续,则 f(x, y)(x_0, y_0) 处可微。


多元函数几个概念之间的关系

偏导数连续 \Rightarrow 函数可微 \Rightarrow \displaystyle\begin{cases}函数连续 \\偏导数存在 \\ \end{cases}


复合函数求导法则

设函数 z = f(u, v) 可微, u = u(x, y)v = v(x, y) 具有一阶偏导数,并且它们可以构成 z 关于 (x, y) 在某区域 D 内的复合函数,则在 D 内又复合函数;则在 D 内有复合函数求导法则:

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \end{aligned}

隐函数求导法则

设函数 F(x, y, z) 在点 P_0(x_0, y_0, z_0) 的某邻域内有连续偏导数,并且 F(x_0, y_0, z_0) = 0F'_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0,则方程 F(x_0, y_0, z_0) = 0 在点 P_0 的某一邻域内恒能确定唯一的连续函数 z=f(x, y),满足:

  • z_0 = f(x_0, y_0)
  • F(x, y, f(x, y)) \equiv 0
  • z = f(x, y) 具有连续偏导数

则:

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x'(x, y, z)}{F'_z(x, y, z)} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y'(x, y, z)}{F'_z(x, y, z)} \end{aligned}

二元函数求极值

\begin{cases} f''_{xx}(x, y) = A \\ f''_{xy}(x, y) = B \\ f''_{yy}(x, y) = C \\ \end{cases}
\Delta = B^2 - AC \begin{cases} < 0 \Rightarrow 极值 \begin{cases} A < 0 \Rightarrow 极大值 \\ A > 0 \Rightarrow 极小值 \end{cases}\\ > 0 \Rightarrow 非极值\\ = 0 \Rightarrow 方法失效,另谋他法 \end{cases}

拉格朗日乘数法

求目标函数 u = f(x, y, z),在条件 \begin{cases} \varphi(x,y,z)=0 \\ \psi(x, y, z) = 0 \\\end{cases} 下的最值,则:

构造辅助函数 F(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) + \lambda\varphi(x, y, z) + \mu\psi(x, y, z) 令:

\begin{cases} F'_x = f'_x + \lambda\varphi'_x + \mu\psi'_x = 0, \\ F'_y = f'_y + \lambda\varphi'_y + \mu\psi'_y = 0, \\ F'_z = f'_z + \lambda\varphi'_z + \mu\psi'_z = 0, \\ F'_\lambda = \varphi(x, y, z) = 0, \\ F'_\mu = \psi(x, y, z) = 0, \\ \end{cases}

根据上述方程组求出备选点,然后代数函数求出最大值和最小值。


关于拉格朗日乘数法的理解:实际上上面的等式如果只有一个约束条件的化可以改写成梯度的形式:

\displaystyle\left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right) = \lambda\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)

于是可以很容易的理解,只有极值函数和条件函数的法向量线性相关(重合)时,取得极值;而梯度可以表示法向量,也就是说极值函数与条件函数相切时取得极值。

另外利用梯度的表示方式,很容易能消去 \lambda,从而解得极值点。需注意判断 \lambda = 0 的情况,一般可以舍去。


二重积分

二重积分可以化为累次积分的定积分,表示曲顶柱体的体积。

\begin{aligned} & \iint\limits_{D} f(x, y) d\sigma \\ \xlongequal{笛卡尔坐标}& \int_{a_x}^{{b_x}} dx \int_{a_y}^{{b_y}} f(x, y) dy \\ \xlongequal{极坐标}& \int_{a_\theta}^{{b_\theta}} d\theta \int_{a_r}^{{b_r}} f(r\cos \theta, r\sin \theta) rdr \\ \end{aligned}
\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1 f(x, y) dxdy

三重积分

三重积分可以化为累次积分的定积分,表示空间区域 以密度 \rho=f(x, y, z) 的质量。

\begin{aligned} & \iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dv \\ \xlongequal{笛卡尔坐标}& \int_{a_x}^{{b_x}} dx \int_{a_y}^{{b_y}} dy \int_{a_z}^{{b_z}} f(x, y, z) dz\\ \xlongequal{笛卡尔坐标}& \int_{a_z}^{{b_z}} dz \iint\limits_{D} f(x, y, z) d\sigma \\ \xlongequal{柱坐标}& \iiint\limits_\Omega f(r\cos \theta, r\sin \theta, z) rdr d\theta \\ \xlongequal{球坐标}& \iiint\limits_\Omega f(r\sin\varphi \cos \theta, r \sin\varphi \sin \theta, r\cos\varphi) \cdot r^2\sin\varphi dr d \varphi d\theta \\ \end{aligned}

曲面面积公式(第一型曲面积分)

由方程 z=z(x, y) 确定的单值光滑曲面 \Sigma 的面积:

S = \iint\limits_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdy

若曲面以 \rho = f(x, y, z(x, y)) 为密度,则曲面质量为:

M = \iint\limits_D f(x, y, z(x, y)) \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdy

形心与重心

设平面薄片 D 的面密度为 \rho(x, y),则 D 重心坐标为:

\begin{aligned} \overline{x} = \frac{\displaystyle \iint\limits_D x \rho(x, y)d \sigma}{\displaystyle \iint\limits_D \rho(x, y)d \sigma} \\ \overline{y} = \frac{\displaystyle \iint\limits_D y \rho(x, y)d \sigma}{\displaystyle \iint\limits_D \rho(x, y)d \sigma} \\ \end{aligned}

设空间物体 \Omega 的体密度为 p(x,y,z),则 \Omega 的重心坐标为:

\begin{aligned} \overline{x} = \frac{\displaystyle \iiint\limits_\Omega x \rho(x, y, z)dv}{\displaystyle \iiint\limits_\Omega \rho(x, y, z)d v} \\ \overline{y} = \frac{\displaystyle \iiint\limits_\Omega y \rho(x, y, z)d v}{\displaystyle \iiint\limits_\Omega \rho(x, y, z)d v} \\ \overline{z} = \frac{\displaystyle \iiint\limits_\Omega z \rho(x, y, z)dv}{\displaystyle \iiint\limits_\Omega \rho(x, y, z)dv} \\ \end{aligned}

以上两种重心坐标若 \rho \equiv 1,即为形心坐标。

有必要解释一下重心:首先找一根细绳,在物体上找一点,用绳悬挂,待物体静止后,通过悬挂点连一条竖直线。在该竖直线外再找一点悬挂,两条竖直线的交点就是不规则物体的重心。


第二型曲线积分

平面第二型曲线积分

若平面有 力场 可以表示为 \vec{f}(x, y) = P(x, y) \cdot \vec{i} + Q(x, y) \cdot \vec{j},其中 PQ 分别为 x,y 方向上的分量,则力 \vec{f} 延曲线 L 做的功为:

\begin{aligned} W =& \int_L P(x, y)dx + \int_L Q(x, y)dy \\ =& \int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy \\ \end{aligned}

格林公式

若曲线 L 为闭曲线,D为闭曲线围成的区域,则可用格林公式化为二重积分:

\begin{aligned} & \oint_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy \\ \xlongequal{格林公式}& \iint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) d\sigma \\ \end{aligned}

\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0,则说明此第二型曲线积分可以将曲线换成 任一围成的区域包含所有不连续点的曲线,再进行积分。一般不连续点为 原点,若围成的区域都有定义,则积分为 0


空间第二型曲线积分

若空间有 力场 可以表示为 \vec{f}(x, y, z) = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k},其中 P,Q,R 分别为 x,y,z 方向上的分量,则力 \vec{f} 延曲线 L 做的功为:

\begin{aligned} W =& \int_L P(x, y, z)dx + \int_L Q(x, y, z)dy + \int_L R(x, y, z)dz \\ =& \int_L P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz \\ \end{aligned}

斯托克斯公式

若曲线 L 为闭曲线,\Sigma为闭曲线围成的区域的任一光滑曲面,则可用斯托克斯公式:

\begin{aligned} & \oint_L P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz \\ \xlongequal{1}& \iint\limits_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} \\ =& \iint\limits_\Sigma \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dydz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dzdx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \\ \xlongequal{2}& \iint\limits_\Sigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} dS \\ \end{aligned}

其中 \vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) 是曲面 \Sigma 在点 (x, y, z) 处的 单位法向量,有人叫 方向余弦

以上有比较解释一下:

  1. 斯托克斯公式将空间第二型曲线积分 化成 第二型曲面积分
  2. 斯托克斯公式将空间第二型曲线积分 化成 第一型曲面积分
  3. 第二型曲面积分 也可以化成 第一型曲面积分

第二型曲面积分

若曲面 \Sigma散度(流量场) 可以表示为 \vec{f}(x, y, z) = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k},其中 P, Q, R 分别为 x,y, z 方向上的分量,则力 \vec{f} 延面 \Sigma通量(流量):

\begin{aligned} I =& \iint\limits_\Sigma P dydz + \iint\limits_\Sigma Q dzdx + \iint\limits_\Sigma R dxdy \\ =& \iint\limits_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy \\ \xlongequal{化第一型}& \iint\limits_\Sigma (\cos\alpha P + \cos\beta dzdx + \cos\gamma R) dS \\ \xlongequal{化二重积分}& \iint\limits_D (\cos\alpha P + \cos\beta dzdx + \cos\gamma R) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdy \\ \xlongequal{化二重积分}& \iint\limits_D (-\frac{\partial z}{\partial x} P - \frac{\partial z}{\partial y}Q+ R) d\sigma\\ \end{aligned}

其中:

  • \vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) 是曲面 \Sigma 在点 (x, y, z) 处的 单位法向量
  • D\SigmaxOy 面上的投影。

以上积分,均为曲面 \Sigma 的正方向,可利用右手定则判断之。


高斯公式

若积分曲面 \Sigma 是个闭曲面,围成的区域记为 \Omega,则可以使用高斯公式,化为三重积分:

\begin{aligned} I =& \iint\limits_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy \\ \xlongequal{高斯公式}& \iiint\limits_\Omega \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}dv \\ \end{aligned}

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0,则说明此第二型曲面积分可以将曲面换成 任一围成的区域包含所有不连续点的曲面,再进行积分。一般不连续点为 原点,若围成的区域都有定义,则积分为 0


雅可比行列式

\begin{aligned} x =& r \cos \theta \\ y =& r \sin \theta \\ J =& (x, y)^T\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -r\sin \theta\\\\ \sin \theta & r\cos \theta \\ \end{array} \right]\\ | J | =& r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r \\ dxdy =& |J|drd\theta = r drd\theta \end{aligned}

Γ 函数

\begin{aligned} \Gamma(\alpha) &= \int_0^{+\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt & (t>0) \\ \Gamma(\alpha) &= 2\int_0^{+\infty} t^{2\alpha-1}e^{-t^2} dt & (t>0) \end{aligned}
\begin{aligned} \Gamma(x + 1) &= x\Gamma(x) \\ \Gamma(1) &= 1 \\ \Gamma(n + 1) &= n! \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \\ \Gamma(1 - z)\Gamma(z) &= \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \end{aligned}
\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

华莱士公式

\begin{aligned} I_n &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(x)dx \\ &=\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot\frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & (n=even)\\ \frac{n-1}{n} \cdot\frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} & (n=odd)\\ \end{cases} \end{aligned}

B 函数 β

\begin{aligned} B(x, y) =& \int_0^1t^{x - 1}(1 - t)^{y - 1} dt \\ B(x, y) =& \int_0^{+\infty} \frac{t^{x - 1}}{(1 + t)^{x + y}} dt \\ B(x, y) =& \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}\\ B(x, y) =& \frac{x - 1}{x + y} B(x - 1, y) = \frac{y - 1}{x + y} B(x, y - 1)\\ \end{aligned}

傅里叶级数

\begin{aligned} S(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}) \\ a_0 &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)dx \\ a_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos \frac{n\pi x}{l} dx \\ b_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin \frac{n\pi x}{l} dx \\ \end{aligned}

使用计算技巧


有理函数积分裂项

来源:https://www.youtube.com/watch?v=ljzWO23htVs

求谁挡谁代谁特解

\begin{aligned} y &= \int \frac{1}{(x^2-x-2)(x-1)^2} dx = \frac{1}{(x+1)(x-2)(x-1)^2}dx \\ f(x) &= \frac{1}{(x+1)(x-2)(x-1)^2} = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{m}{x + 1} + \frac{n}{x - 2} \\ a &= \lim_{x \to 1} (x-1)^2f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(x-2)} = -\frac{1}{2} \\ b &= \lim_{x \to 1}\frac{d[(x - 1)^2f(x)]}{dx} = \lim_{x \to 1}\frac{1-2x}{[(x+1)(x-2)]^2} = - \frac{1}{4} \\ n &= \lim_{x\to2}(x - 2)f(x) = \lim_{x \to 2}\frac{1}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{1}{3} \\ m &= \lim_{x \to -1} (x + 1) f(x) = \lim_{x \to -1}\frac{1}{(x-2)(x-1)^2} = -\frac{1}{12} \\ y &= \int \left[ \frac{-\frac{1}{2}}{(x-1)^2} + \frac{-\frac{1}{4}}{x-1} + \frac{-\frac{1}{12}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2}\right] dx \\ &= \frac{1}{2(x-1)} - \frac{\ln|x-1|}{4} - \frac{\ln|x+1|}{12} + \frac{\ln|x-2|}{3} + C \end{aligned}

非奇非偶函数的偶倍奇零

来源:https://www.youtube.com/watch?v=_XAzSUSnr9s

\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_0^{a} [f(x) + f(-x)] dx

微分算子法求 y^*

来源:https://www.youtube.com/watch?v=GN_zOiODG40

基础规定:

  • D 表示 求导
  • \frac{1}{D} 表示 积分

\begin{aligned} y'' + py' + qy = f(x)\\ y^* = \frac{1}{D^2 + pD + q}f(x) \end{aligned}

f(x) = ae^{kx} 的规则:

  1. 见到 D 换成 k
  2. 如果分母为0,则提出一个 x,然后对分母求导,回到第一步
  3. 式子中不含 D 时,即为所求

f(x) = \sin axf(x) = \cos ax 的规则:

  1. 见到 D^2 换成 -a^2
  2. 如果没有 D^2,而只有 D,可以使用平方差公式创造出D^2,回到第1步
  3. 出现 \frac{1}{D},则求积分
  4. 式子中不含 D 时,即为所求

f(x) = P_n(x) 的规则:

  1. 分子等比级数和展开
  2. 如果分母中没有1,则提出\frac{1}{D},再进行运算
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \ (-1 < x < 1)

f(x) = e^{kx}y(x) 的规则:

  1. 将特解写成如下形式:
y^* = e^{kx}\frac{1}{(D+k)^2 + p(D+k) + q}y(x)
  1. 然后再利用上面的几种方法进行计算