2022年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

(1) 设 $\displaystyle \lim_{x \to 1} {f(x) \over \ln x} = 1$，则

• (A) $f(1) = 0$

• (B) $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

• (C) $f'(1) = 1$

• (D) $\displaystyle \lim_{x \to 1} f'(x) = 1$

(2) 设函数 $\displaystyle z=xyf\left({y \over x}\right)$，其中 $f(u)$ 可导，若 $\displaystyle x{\partial z \over \partial x} + y {\partial z \over \partial y} = y^2(\ln y - \ln x)$，则

• (A) $\displaystyle f(1) = {1 \over 2}, f'(1) = 0$

• (B) $\displaystyle f(1) = 0, f'(1) = {1 \over 2}$

• (C) $f(1) = 1, f'(1) = 0$

• (D) $\displaystyle f(1) = 0, f'(1) = {1 \over 2}$

(3) 设数列 $\{x_n\}$，其中 $\displaystyle -{\pi \over 2} \leqslant x_n \leqslant {\pi \over 2}$，则

• (A) 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \cos (\sin x_n)$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n$ 存在

• (B) 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sin (\cos x_n)$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n$ 存在

• (C) 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \cos (\sin x_n)$ 存在时，$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n$ 不一定存在

• (D) 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sin (\cos x_n)$ 存在时，$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n$ 不一定存在

(4) $\displaystyle I_1 = \int_0^1 {x \over 2(1 + \cos x)} dx$，$\displaystyle I_2 = \int_0^1 {\ln(1 + x) \over 1 + \cos x} dx$，$\displaystyle I_3 = \int_0^1 {2x \over 1 + \sin x} dx$，则

• (A) $I_1 < I_2 < I_3$

• (B) $I_3 < I_1 < I_2$

• (C) $I_2 < I_1 < I_3$

• (D) $I_3 < I_2 < I_1$

(5) 下述四个条件中，$3$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的一个充分但不必要条件是

• (A) $A$ 有 $3$ 个互不相等的特征值
• (B) $A$ 有 $3$ 个线性无关的特征向量
• (C) $A$ 有 $3$ 个两两线性无关的特征向量
• (D) $A$ 不同特征值对应的特征向量正交

(6) 设矩阵 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，则

• (A) $\begin{bmatrix} A & O \\ E & B \end{bmatrix} y = 0$ 仅有零解

• (B) $\begin{bmatrix} E & A \\ O & AB \end{bmatrix} y = 0$ 仅有零解

• (C) $\begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} y = 0$ 与 $\begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} y = 0$ 同解

• (D) $\begin{bmatrix} AB & B \\ O & A \end{bmatrix} y = 0$ 与 $\begin{bmatrix} BA & A \\ O & B \end{bmatrix} y = 0$ 同解

(7) 设 $\alpha_1 = \begin{bmatrix} \lambda \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \\ 1 \end{bmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \lambda \end{bmatrix}$, $\alpha_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{bmatrix}$，若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是

• (A) $\{\lambda | \lambda \in \mathbb{R}\}$

• (B) $\{\lambda | \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1\}$

• (C) $\{\lambda | \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1, \lambda \neq -2\}$

• (D) $\{\lambda | \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -2\}$

(8) 设随机变量 $X \sim U(0, 3)$, 随机变量 $Y$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布, 且 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 $-1$，则 $D(2X - Y + 1) =$

• (A) $1$
• (B) $5$
• (C) $9$
• (D) $12$

(9) 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的四阶矩存在，记 $\mu_k = E(X_1^k) (k = 1, 2, 3, 4)$，则由切比雪夫不等式，对任意 $\varepsilon > 0$ 有 $\displaystyle P\left\{\left| {1 \over n} \sum_{i = 1}^n X_i - \mu_2 \right| \leqslant \varepsilon \right\} \leqslant$

• (A) $\displaystyle {\mu_4 - \mu_2^2 \over n \varepsilon^2}$

• (B) $\displaystyle {\mu_4 - \mu_2^2 \over \sqrt{n} \varepsilon^2}$

• (C) $\displaystyle {\mu_2 - \mu_1^2 \over n \varepsilon^2}$

• (D) $\displaystyle {\mu_2 - \mu_1^2 \over \sqrt{n} \varepsilon^2}$

(10) 设随机变量 $X \sim N(0, 1)$，在 $X = x$ 的条件下，随机变量 $Y \sim N(x,1)$，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为

• (A) $\displaystyle {1 \over 4}$

• (B) $\displaystyle {1 \over 2}$

• (C) $\displaystyle {\sqrt{3} \over 3}$

• (D) $\displaystyle {\sqrt{2} \over 2}$

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

(11) $f(x, y)=x^2 + 2y^2$ 在点 $(0, 1)$ 处最大的方向导数是 _____

(12) $\displaystyle \int_1^{e^2} {\ln x \over \sqrt{x}} dx =$ _____

(13) 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时，$x^2 + y^2 \leqslant ke^{x + y}$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为 _____

(14) 级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty {n! \over n^n} e^{- nx}$ 的收敛域为 $(a, + \infty)$，则 $a=$ _____

(15) 已知矩阵 $A$ 和 $E - A$ 可逆，其中 $E$ 为单位矩阵，若 $B$ 满足 $\displaystyle \left(E - (A - E)^{-1}\right)B = A$，则 $B - A$ = _____

(16) 设 $A,B,C$ 为随机事件，且 $A,B$ 互不相容，$A,C$ 互不相容，$B,C$ 相互独立，$\displaystyle P(A) = P(B) = P(C) ={1 \over 3}$，则 $P[(B \cup C) | (A \cup B \cup C)]=$ _____

三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）

(17) （本题满分 10 分）

设函数 $y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y' + {1 \over 2\sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}$ 满足条件 $y(1) = 3$ 的解，求曲线 $y = y(x)$ 的渐近线

(18) （本题满分 12 分）

设 $\displaystyle D = \left\{(x, y) | y - 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 - y^2}, 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$，计算 $\displaystyle I = \iint\limits_{D} {(x - y)^2 \over x^2 + y^2}dxdy$

(19) （本题满分 12 分）

已知 $\Sigma$ 为曲面 $4x^2 + y^2 + z^2 = 1 (x \geqslant 0, y \geqslant 0，z \geqslant 0)$ 的上侧，$L$ 为 $\Sigma$ 的边界曲线，其正向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分

(20) （本题满分 12 分）

设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上有二阶连续导数，证明：$f''(x) \geqslant 0$ 的充分必要条件是对不同实数 $a, b$，有

(21) （本题满分 12 分）

设二次型 $\displaystyle f(x_1, x_2, x_3)=\sum_{i = 1}^3\sum_{j = 1}^3 ij x_i x_j$

• (1) 写出 $f(x_1, x_2, x_3)$ 对应的矩阵
• (2) 求正交变换 $x=Qy$ 将 $f(x_1, x_2, x_3)$ 化为标准形
• (3) 求 $f(x_1, x_2, x_3) = 0$ 的解

(22) （本题满分 12 分）

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 是来自均值为 $2\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta > 0)$ 是未知参数，利用样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$, $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$，并求 $D(\hat{\theta})$