数学分析：数理逻辑基础

创建时间 2020-03-23

更新时间 2020-03-23

分类

数学理论

专题

数学分析

数理逻辑是人们用以进行严格的数学证明的语言，了解数理逻辑对于理解数学的思考方法也是非常有帮助的，一旦掌握了数学的思考方法，就使你能以清晰的、有把握的方式来研究数学概念和数学问题。

命题

任何数学论述都是由一系列 数学命题 组成的，这些命题是涉及各种 数学对象 以及它们之间的关系的准确的陈述；命题可以是真的也可以是假的

如果 $X$ 是命题，并且 $Y$ 是命题，那么命题 $X$ 与 $Y$ 当 $X$ 与 $Y$ 都真时为真，当 $X$ 与 $Y$ 不都真时为假，也就是 $X$ 与 $Y$ 有一个为假时为假

如果 $X$ 是命题， $Y$ 也是命题，那么只要 $X$ 与 $Y$ 中有一个是真的， $X$ 或 $Y$ 就是真的

命题 $X$ 不真 或 $X$ 是假的，或 $X$ 不成立 叫作 $X$ 的否定，当且仅当 $X$ 是假的时它才是真的，并且当且仅当 $X$ 是真的时它才是假的

设 $X$ 是命题， $Y$ 也是命题，如果只要 $X$ 是真的 $Y$ 就必是真的，而且只要 $Y$ 是真的 $X$ 也必是真的，那么我们就说 $X$ 真当且仅当 $Y$ 真

如果 $X$ 是命题， $Y$ 是命题，那么 若 $X$ 则 $Y$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的蕴含，有时也把它写成 当 $X$ 成立时， $Y$ 也成立 或 $X$ 蕴含 $Y$ 或 $Y$ 真只要 $X$ 真 或 $X$ 真仅当 $Y$ 真

原命题和逆否命题，同真同假

一个变量是一个符号，像 $n$ 或 $x$ ，它代定类型的数学对象；在几乎一切情况下，变量所代表的对象类型应该明确，否则就难于用这个变量来成功地构成命题

有时我们也令一个变量等于一个固定的值，用 设 $X = 2$ 或 令 $X = 2$ 之类的命题表达此事在这种情况下，变量叫作 约束变量

设 $P(x)$ 是一个依赖于自由变量 $x$ 的命题，命题 对于一切 $T$ 型的 $x$ , $P(x)$ 是真的 指的是，给定任何 $T$ 型的 $x$ ，不管 $x$ 的精确值是什么， $P(x)$ 都是真的

比如：所有人都会死

命题 对于某个 $T$ 型 $x$ ， $P(x)$ 真 指的是至少存在一个 $T$ 型 $x$ ，使得 $P(x)$ 真，虽然可能存在多于一个这样的 $x$

否定一个 全称命题 就产生一个 存在命题

否定一个 存在命题 就产生一个 全称命题

设 $A$ 是一个集合， $P(x)$ 是关于 $x \in A$ 的性质：

一个典型的推理（或演绎）方式是：

自反公理：给定任何对象 $x$ ，有 $x=x$
对称公理：给定同一类的两个对象 $x$ 和 $y$ ，如果 $x=y$ ，那么 $y=x$
传递公理：给定 $3$ 个同类的对象 $x,y,z$ ，如果 $x=y$ 并且 $y=z$ ，那么 $x=z$
代入公理：给定同类的两个对象 $x,y$ ，如果 $x=y$ ，那么对于一切函数或运算 $f$ ，都有 $f(x) = f(y)$ ，类似地，对于任何依赖于 $x$ 的性质 $P(x)$ ，如果 $x=y$ ，那么 $P(x)$ 与 $P(y)$ 是等价的命题