2006年全国硕士研究生招生考试数学一试题

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} {x\ln(1 + x) \over 1 - \cos x} =$ _____

(2) 微分方程 $\displaystyle y' = {y (1 - x) \over x}$ 的通解是 _____

(3) 设 $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ $(0\leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧，则 $\displaystyle \iint\limits_\Sigma xdydz + 2ydzdx + 3(z -1)dxdy =$ _____

(4) 点 $(2, 1, 0)$ 到平面 $3x+4y+5z=0$ 的距离 $z=$ _____

(5) 设矩阵 $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$，$E$ 为 $2$ 阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $BA=B+2E$，则 $|B|=$ _____

(6) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max\{X,Y\} \leqslant 1\} =$ _____

二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

(7) 设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f'(x) > 0$, $f''(x) > 0$, $\Delta x$ 为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量，$\Delta y$ 与 $dy$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x > 0$，则

• (A) $0 < dy < \Delta y$
• (B) $0 < \Delta y < dy$
• (C) $\Delta y < dy < 0$
• (D) $dy < \Delta y < 0$

(8) 设 $f(x,y)$ 为连续函数，则 $\displaystyle\int_0^{\pi \over 4} d\theta \int_0^1 f(r\cos \theta, r\sin \theta)rdr$ 等于

• (A) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dx \int_x^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dy$

• (B) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dx \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y)dy$

• (C) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dy \int_y^{\sqrt{1 - y^2}} f(x,y)dx$

• (D) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2} \over 2}dy \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} f(x,y)dx$

(9) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，则级数

• (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n|$ 收敛

• (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 收敛

• (C) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n + 1}$ 收敛

• (D) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {a_n + a_{n + 1}\over 2}$ 收敛

(10) 设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y'(x, y) \neq 0$，已知 $(x_0, y_0)$ 是 $f(x,y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是

• (A) 若 $f_x'(x_0, y_0) = 0$，则 $f_y'(x_0, y_0) = 0$
• (B) 若 $f_x'(x_0, y_0) = 0$，则 $f_y'(x_0, y_0) \neq 0$
• (C) 若 $f_x'(x_0, y_0) \neq 0$，则 $f_y'(x_0, y_0) = 0$
• (D) 若 $f_x'(x_0, y_0) \neq 0$，则 $f_y'(x_0, y_0) \neq 0$

(11)设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维列向量，$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，下列选项正确的是

• (A) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，则 $A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关
• (B) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，则 $A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关
• (C) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则 $A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关
• (D) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则 $A\boldsymbol{\alpha}_1,A\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,A\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关

(12) 设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 行加到第 $1$ 行得 $B$，再将 $B$ 的第 $1$ 列的 $-1$ 倍加到第 $2$ 列得 $C$，记 $\displaystyle P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，则

• (A) $C= P^{-1}AP$
• (B) $C= PAP^{-1}$
• (C) $C= P^{T}AP$
• (D) $C= PAP^{T}$

(13) 设 $A,B$ 为随机事件，且 $P(B) > 0$，$P(A|B) = 1$，则必有

• (A) $P(A \cup B) > P(A)$
• (B) $P(A \cup B) > P(B)$
• (C) $P(A \cup B) = P(A)$
• (D) $P(A \cup B) = P(B)$

(14)设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y$ 服从正态分布$N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $P\{|X - \mu_1| < 1\} > P\{|Y - \mu_2| < 1\}$，则

• (A) $\sigma_1 < \sigma_2$
• (B) $\sigma_1 > \sigma_2$
• (C) $\mu_1 < \mu_2$
• (D) $\mu_1 > \mu_2$

三、解答题（本题共 9 小题，共 94 分）

(15) （本题满分 10 分）

设区域 $D=\{(x, y)|x^2 + y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\}$，计算二重积分 $\displaystyle \iint\limits_D {1 + xy \over 1 + x^2 + y^2} dxdy$

(16) （本题满分 12 分）

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $0 < x_1 < \pi$，$x_{n + 1} = \sin x_n$ $(n = 1, 2,\cdots)$，求：

• (1) 证明 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} x_n$ 存在，并求之
• (2) 计算 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(x_{n + 1} \over x_n\right)^{1 \over x_n^2}$

(17) （本题满分 12 分）

将函数 $\displaystyle f(x) = {x \over 2 + x - x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数

(18) （本题满分 12 分）

设函数 $f(u)$ 在 $(0, +\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f(\sqrt{x^2 + y^2})$ 满足等式 $\displaystyle {\partial^2 z \over \partial x^2} + {\partial^2 z \over \partial y^2} = 0$

• (1) 验证 $\displaystyle f''(u) + {f'(u) \over u} = 0$

• (2) 若 $f(1)= 0$,$f'(1) = 1$，求函数 $f(u)$ 的表达式

(19) （本题满分 12 分）

设在上半平面 $D=\{(x,y)|y>0\}$ 内，函数 $f(x,y)$ 有连续偏导数，且对任意的 $t > 0$ 都有 $f(tx,ty) = t^{-2}f(x,y)$，证明对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ 都有

(20) （本题满分 9 分）

已知非齐次线性方程组

有 $3$ 个线性无关的解

• (1) 证明方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 2$
• (2) 求 $a,b$ 的值及方程组的通解

(21) （本题满分 9 分）

设 $3$ 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $3$，向量 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (-1, 2, -1)^T$, $\boldsymbol{\alpha}_2 = (0,-1,1)^T$ 是线性方程组 $Ax=0$ 的两个解

• (1) 求 $A$ 的特征值与特征向量
• (2) 求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $Q^TAQ=\Lambda$

(22) （本题满分 9 分）

随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle {1 \over 2}, & -1 < x < 0, \\ \displaystyle {1 \over 4}, & 0 \leqslant x < 2, \\ 0, & 其他,\end{cases}$，令 $Y = X^2$, $F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数

• (1) 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$
• (2) $\displaystyle F\left(-{1 \over 2}, 4\right)$

(23) （本题满分 9 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

其中 $\theta(0 < \theta < 1)$ 是未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中小于 $1$ 的个数，求 $\theta$ 的最大似然估计