数论 素数定理 一个小于任意数 NN 的素数大约有 \displaystyle\frac{N}{\ln N}\displaystyle\frac{N}{\ln N} 个，而且随着 NN 的增大，近似程度越来越好。 贝祖引理 对于任意两个不都为零的整数 aa 和 bb，我们可以找到整数 uu 和 vv，使得 au + bv = 1au + bv = 1 的解的充要条件是 aa 和 bb 互素。 贝祖引理的证明： 我们当然知道，aa 和 bb 只有互素时，才能满足 au+bv=1au+bv=1；否则的

注意：若加载不出来请刷新重试，移动端椭球面显示有问题，目前不知道问题所在！ 椭球面 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 单叶双曲面 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y

import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import cm import warnings warnings.filterwarnings("ignore") 幂函数 \begin{aligned} y =& x \\ y =& \sqrt x \\ y =& \frac{1}{x} \\ y =& x^2 \\ y =& x^3 \\ \end{aligned} \begin{a

\begin{gathered} y' + p(x)y = q(x) \end{gathered} \begin{gathered} y' + p(x)y = q(x) \end{gathered} 解法一 \begin{aligned} f'(x) + p(x)f(x) &= q(x) \\ {f'(x) \over f(x)}+ p(x) &\xlongequal{构造 {f'(x) \over f(x)}} {q(x) \over f(x)} \\ \ln[f(x)] + \int p(x)

内容繁多：加载缓慢，请耐心等待！！！ 基础公式 三次方和差公式 \begin{aligned} (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \\ \end{aligned} \begin{aligned} (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a^2 \mp

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 证明： 将 f(x) = |x|f(x) = |x|，在 x\in [-\pi, \pi]x\in [-\pi, \pi] 上展开成傅里叶级数。 \begin{aligned} f(x) =& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx \\ a_0

函数、极限、连续 x \in (0, 1) \Rightarrow \sin x < x < \tan xx \in (0, 1) \Rightarrow \sin x < x < \tan x 当 x \to 0x \to 0 时，若 f(x) \sim ax^m;g(x) \sim bx^nf(x) \sim ax^m;g(x) \sim bx^n，则 f[g(x)] \sim ab^mx^{mn}f[g(x)] \sim ab^mx^{mn} \begin{aligned} &\lim_{x

零点定理 设 f(x)f(x) 在 [a, b][a, b] 上连续，当 f(a)\cdot f(b) < 0f(a)\cdot f(b) < 0，时，存在 \xi\in(a, b)\xi\in(a, b)，使得 f(\xi) = 0f(\xi) = 0 证明： 设 f(a) < 0f(a) < 0，则 f(b) > 0f(b) > 0； 令 E=\{x| f(x) \leqslant 0, x\in[a, b]\}E=\{x| f(x) \leqslant 0, x\in[a, b]\} 由 f(a) <

微积分 高阶导数 (a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x 证明： 用数学归纳法 当 n = 1n = 1 时： (a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x，成立 设 n = kn = k 时，(a^x

函数、极限、连续 求极限 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\tan\frac{\pi}{2^2} + \frac{1}{2^2}\tan\frac{\pi}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n}\tan\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\tan\frac{\pi}{2^2} + \frac{1}{2^2}\