基础定义 对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作 对象 公理：是数学的基础，是不加证明的公设，也就是认为肯定是对的。这里说的认为，是因为公理有时候并不完全对，比如 欧几里得第五公设，由推翻第五公设发展出了非欧几何 引理：是一个容易证明的断言，它被用来帮助证明其他的命题或定理，但它本身通常不是特别有意义的 命题：是本身有意义的陈述，每个良好构成的命题都或是 真的 或是 假的, 而不可两者都是 定理：是比命题更重要的陈述，它对于论题给出确定性的断言，且通常比

数理逻辑是人们用以进行严格的数学证明的语言，了解数理逻辑对于理解数学的思考方法也是非常有帮助的，一旦掌握了数学的思考方法，就使你能以清晰的、有把握的方式来研究数学概念和数学问题。 命题 任何数学论述都是由一系列 数学命题 组成的，这些命题是涉及各种 数学对象 以及它们之间的 关系 的准确的陈述；命题可以是真的也可以是假的 合联 如果 XX 是命题，并且 YY 是命题，那么命题 XX 与 YY 当 XX 与 YY 都真时为真，当 XX 与 YY 不都真时为假，也就是 XX 与 YY 有一个为假时为假 析取 如

皮亚诺公理体系 公理一：00 是一个自然数 公理二： 若 nn 是 自然数，则 n++n++ 也是自然数 公理三： 对于每个自然数 nn，都有 n++ \neq 0n++ \neq 0 公理四： 若 n, mn, m 是自然数，且 n \neq mn \neq m，则 n++ \neq m++n++ \neq m++ 等价于，若 n++ = m++n++ = m++，则必有 n = mn = m 公理五 数学归纳原理 设 P(n)P(n) 是关于自然数的一个性质： 首先，如果 P(0)P(0)

整数 一个整数是一个形如 a — ba — b 的表达式，其中 aa 和 bb 是自然数，两个整数看作是相等的，a — b = c — da — b = c — d，当且仅当，a+d=c+ba+d=c+b，用 \mathbb{Z}\mathbb{Z} 表示全体整数的集合 整数的加法 两个整数的和 (a—b) + (c—d)(a—b) + (c—d) 由下式定义： (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) 整数的乘法

序列 设 mm 是整数，一个 有理数 的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是—个从集合 \{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \}\{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \} 到 \mathbb{Q}\mathbb{Q} 的函数，即一个映射，它对于每个大于或等于 mm 的整数 nn 都指定一个有理数 a_na_n； 更正式地说，一个有理数的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是有理数 a_m, a

定义 设 X,YX,Y 是集合，并设 P(x,y)P(x,y) 一个涉及对象 x \in Xx \in X 以及对象 y \in Yy \in Y 的性质； 使得对每个 x \in Xx \in X，恰有一个 y \in Yy \in Y 使 P(x, y)P(x, y) 成立； 那么我们定义在 定义域 XX 和 值域 YY 上确定的函数 f:X \rightarrow Yf:X \rightarrow Y； 函数 ff 是这样的对象，它对于给定的任意的输入 x \in Xx \in X，指定一个输出 f(

实数的距离 给定两个实数 xx 和 yy，我们定义它们的距离 d(x,y)d(x,y) 为： d(x,y) := |x - y| d(x,y) := |x - y| \varepsilon -\varepsilon - 接近的实数 设 \varepsilon > 0\varepsilon > 0 是实数，我们说两个实数 x,yx,y 是 \varepsilon-\varepsilon- 接近的，当且仅当我们有： d(x,y) \leqslant \varepsilon d(x,y) \l

有限级数 设 m,nm,n 是整数，并设 (a_i)_{i=m}^n(a_i)_{i=m}^n 是实数的有限序列，它把每个介于 mm 和 nn 之间的整数 ii 对应于一个实数 a_i (m \leqslant i \leqslant n)a_i (m \leqslant i \leqslant n)；那么我们用下面的递归公式来定义有限和（或有限级数）: \begin{aligned} \sum_{i=m}^n a_i &:= 0, (n < m);\\ \sum_{i=m}^{n + 1} a_i &

可数集 集合 XX 叫作 可数无限的（或简称为可数的），当且仅当它与自然数集有相同的基数；集合 XX 叫作最多可数的，当且仅当它或者是可数的，或者是有限的；我们说一个集合是不可数的，如果它是无限的但不是可数的。 良序原理 设 XX 是自然数集合 \mathbb{N}\mathbb{N} 的一个不空的子集合，那么恰存在一个元素 n \in Xn \in X，使得对于一切 m \in Xm \in X 成立 n \leqslant mn \leqslant m； 换句话说，每个不空的自然数的集合都有最小元；