微积分 高阶导数 (a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x(a^x)^{(n)} = (\ln a)^n\cdot a^x 证明： 用数学归纳法 当 n = 1n = 1 时： (a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x，成立 设 n = kn = k 时，(a^x

函数、极限、连续 求极限 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\tan\frac{\pi}{2^2} + \frac{1}{2^2}\tan\frac{\pi}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n}\tan\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\tan\frac{\pi}{2^2} + \frac{1}{2^2}\

辅助函数表格 中值等式 G(\xi) = 0G(\xi) = 0 辅助函数 F(x)F(x) \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)} = 0\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)} = 0 \ln f(x)\ln f(x) f'(\xi) + A\xi^k + B = 0f'(\xi) + A\xi^k + B = 0 \displaystyle f(x) + \frac{Ax^{k+1}}{k+1} + Bx\displaystyle f(x

在我小时候，我们镇子上每年都会来一些人，不知道这些人是何方神圣，反正没人管。这些人打着一个“青蛙游戏”的旗号，来聚众赌博，具体的博弈方式是这样的。 庄家有一个四方形的陀螺，其中两面画着青蛙，还有一面画着蛇，一面画着鸡。每次庄家都会转动陀螺，然后用不透明的桶扣在上面，让众人下注。 陀螺如下图所示（3ds max 经久不练，凑合看吧） 很明显命中青蛙、蛇、鸡的概率是不一样的。 青蛙的概率是 \frac 1 2\frac 1 2，赔率是 1 赔 1 蛇和鸡的概率是 \frac 1 4\frac 1 4，赔率是

可数集 集合 XX 叫作 可数无限的（或简称为可数的），当且仅当它与自然数集有相同的基数；集合 XX 叫作最多可数的，当且仅当它或者是可数的，或者是有限的；我们说一个集合是不可数的，如果它是无限的但不是可数的。 良序原理 设 XX 是自然数集合 \mathbb{N}\mathbb{N} 的一个不空的子集合，那么恰存在一个元素 n \in Xn \in X，使得对于一切 m \in Xm \in X 成立 n \leqslant mn \leqslant m； 换句话说，每个不空的自然数的集合都有最小元；

有限级数 设 m,nm,n 是整数，并设 (a_i)_{i=m}^n(a_i)_{i=m}^n 是实数的有限序列，它把每个介于 mm 和 nn 之间的整数 ii 对应于一个实数 a_i (m \leqslant i \leqslant n)a_i (m \leqslant i \leqslant n)；那么我们用下面的递归公式来定义有限和（或有限级数）: \begin{aligned} \sum_{i=m}^n a_i &:= 0, (n < m);\\ \sum_{i=m}^{n + 1} a_i &

实数的距离 给定两个实数 xx 和 yy，我们定义它们的距离 d(x,y)d(x,y) 为： d(x,y) := |x - y| d(x,y) := |x - y| \varepsilon -\varepsilon - 接近的实数 设 \varepsilon > 0\varepsilon > 0 是实数，我们说两个实数 x,yx,y 是 \varepsilon-\varepsilon- 接近的，当且仅当我们有： d(x,y) \leqslant \varepsilon d(x,y) \l

整数 一个整数是一个形如 a — ba — b 的表达式，其中 aa 和 bb 是自然数，两个整数看作是相等的，a — b = c — da — b = c — d，当且仅当，a+d=c+ba+d=c+b，用 \mathbb{Z}\mathbb{Z} 表示全体整数的集合 整数的加法 两个整数的和 (a—b) + (c—d)(a—b) + (c—d) 由下式定义： (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) (a—b) + (c—d) := (a+ c)—(b+ d) 整数的乘法

定义 设 X,YX,Y 是集合，并设 P(x,y)P(x,y) 一个涉及对象 x \in Xx \in X 以及对象 y \in Yy \in Y 的性质； 使得对每个 x \in Xx \in X，恰有一个 y \in Yy \in Y 使 P(x, y)P(x, y) 成立； 那么我们定义在 定义域 XX 和 值域 YY 上确定的函数 f:X \rightarrow Yf:X \rightarrow Y； 函数 ff 是这样的对象，它对于给定的任意的输入 x \in Xx \in X，指定一个输出 f(

序列 设 mm 是整数，一个 有理数 的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是—个从集合 \{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \}\{n \in \mathbb{Z} : n \geqslant m \} 到 \mathbb{Q}\mathbb{Q} 的函数，即一个映射，它对于每个大于或等于 mm 的整数 nn 都指定一个有理数 a_na_n； 更正式地说，一个有理数的序列 (a_n)_{n=m}^n(a_n)_{n=m}^n 是有理数 a_m, a